Vorlesung: Gruppentheorie in Molekül - KFU

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 25
Elemente heißen kommutativ zueinander wenn a * b = b * a.
Def. 2.11: Zentrum
Alle jene Elemente einer Gruppe G heißen Zentrum Z der Gruppe, welche mit allen
anderen Elementen aus G kommutieren.
Z := { z ∈ G|z * a = a * z ∀ a ∈ G }
Satz 2.2: über das Zentrum
Das Zentrum Z einer Gruppe G bildet eine abel'sche Untergruppe.
Beweis: Es ist zu zeigen, dass das Zentrum eine Gruppe bildet, Dies erfolgt unter strikter
Anwendung von Def. 2.6. Die Vertauschbarkeit ergibt sich direkt aus Def. 2.11.
Def. 2.12: konjugierte Elemente
Zwei Elemente a,b heißen konjugiert, wenn ein Element c aus G existiert, sodass
a * c = c * b.
Bemerkung: In abel’schen Gruppen ist jedes Element nur zu sich selbst konjugiert.
Def. 2.13: Nebenklassen
Für eine Untergruppe U von G heißen die Mengen gU (Ug) Linksnebenklassen
(Rechtsnebenklassen) der Untergruppe U in G (mit g aus G ). Gemeint ist hier die
Menge aller Ergebnisse der Verknüpfung des Elementes g mit allen Elementen aus
U.
Def. 2.14: Normalteiler
Eine Untergruppe N von G heißt Normalteiler von G, wenn für N die Links- und
Rechtsnebenklassen gleich sind.
Bemerkung: Das Zentrum der Gruppe ist immer Normalteiler. Aber es gilt nicht die
Umkehrung.
2.4 Faktorgruppen, Vektorräume, Gruppenalgebren, Tensoren, etc.
Def. 2.15: Faktorgruppe
Die Menge der Nebenklassen eines Normalteilers N von G heißt Faktorgruppe
G/N.
Satz 2.3: Faktorgruppe
Die Faktorgruppe bildet eine Gruppe bezüglich der Verknüpfung
aN * bN = (a * b)N.