Vorlesung: Gruppentheorie in Molekül - KFU

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 24
Def. 2.7: Ordnung
Die Ordnung einer Gruppe ist die Anzahl der Elemente in der Gruppe. Gilt für ein
Element, dass a n = ε, dann heißt n die Ordnung des Elementes. Besteht die Gruppe
nur aus den Elementen der Gestalt a n (n=1,2,....N) mit a N =a 0 = ε, dann heißt die
Gruppe zyklisch. Das Element a wird erzeugendes Element genannt. (Die
Schreibweise a n ist eine Abkürzung für die n-malige Hintereinanderausführung der
Verknüpfung mit dem Element a: a n = a • a • a• a ....... • a (n-mal)
Bemerkung: In zyklischen Gruppen ist die Gruppenordnung gleich der Ordnung ihres
erzeugenden Elementes. Außerdem sind zyklische Gruppen immer kommutativ. In
nicht zyklischen Gruppen ist die Gruppenordnung stets größer als die Ordnung
irgendeines ihrer Elemente. Nicht zyklische Gruppen besitzen mehrere erzeugende
Elemente.
Satz 2.1: Satz von Lagrange
In endlichen Gruppen ist die Ordnung einer Untergruppe immer ein Teiler der
Gruppenordnung.
Beweis: Der Beweis basiert auf der Tatsache, dass mit jeder Untergruppe links- oder
rechts-Nebenklassen (siehe Def. 2.13) der Gruppe gebildet werden können, welche
eine Klasseneinteilung der Gruppe im Sinne von Def. 2.8 darstellen. Wenn z.B. die
Linksnebenklassen bU gebildet werden (mit U