Vorlesung: Gruppentheorie in Molekül - KFU

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 23
3. neutrales Element: ∃ ε aus M: ε • a = a ∀ a aus M.
4. inverses Element: ∃ a-1 aus M: a-1 • a = a • a-1 = ε ∀ a aus M.
bei abelschen Gruppen
5. kommutatives Gesetz (Vertauschbarkeit): a • b = b • a ∀ a, b aus M,
oder [a, b] = 0.
Bemerkung: Beispiele von Gruppen sind die reellen Zahlen bezüglich der Multiplikation
(R,•), die ganzen Zahlen bezüglich der Addition (Z, +), Permutationen (z.B. S3),
usw. Keine Gruppe bilden z.B. die natürlichen Zahlen bezüglich der Addition (N,
+) (kein inverses Element). Man beachte, dass für das inverse Element die
Vertauschbarkeit mit dem Element in der Definition beinhaltet ist, während für das
neutrale Element es sich als Konsequenz ergibt.
Def. 2.6: Untergruppe
Die Untergruppe ist eine Teilmenge U von der Gruppe G, wenn folgende
Bedingungen für diese Teilmenge bezüglich der Verknüpfung erfüllt sind:
1. es gilt die Abgeschlossenheit (Pkt.1 aus Def. 2.5: Gruppe)
2. das inverse Element existiert in U (Pkt. 4 aus Def. 2.5: Gruppe)
Man schreibt auch: U < G
Beispiel: Einfaches Rechnen in Gruppen.
Aus der Definition der Gruppe ergeben sich einige weitere Konsequenzen. Es
folgt die Eindeutigkeit von neutralem und inversem Element, die Verknüpfung
mit dem neutralen Element ist immer kommutativ und außerdem ist das Element
selbst das Inverse zu seinem inversen Element.
1) Eindeutigkeit von ε:
ε • a = a und ε‘ • a = a mit ε ≠ ε‘
ε • a = ε‘ • a | • a -1
ε • a • a -1 = ε‘ • a • a -1 mit a • a -1 = ε oder ε‘
ε • ε = ε‘ • ε‘ ⇒ ε = ε‘ ist Widerspruch. Daher ε = ε‘.
2) Eindeutigkeit von a -1 :
a • a -1 = a • a -1 ‘ | a -1 •
a -1 • a • a -1 = a -1 • a • a -1 ‘ ⇒ ε • a -1 = ε • a -1 ‘ ⇒ a -1 = a -1 ‘
3) ε ist mit allen Elementen kommutativ:
a = ε • a = a • a -1 • a = a • ε.
4) Inverses zu a -1 :
(a -1 ) -1 • a -1 = ε = a • a -1 | • a
(a -1 ) -1 • ε = a • ε ⇒ (a -1 ) -1 = a .
Bemerkung: Erst durch diese Rechenregeln ist das Lösen von Gleichungen sichergestellt, da
sowohl von rechts als auch von links immer so multipliziert werden kann, dass
nach einer beliebigen Variablen ein lineares Gleichungssystem aufgelöst werden
kann.