Vorlesung: Gruppentheorie in Molekül - KFU

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 22
2. Mathematische Grundlagen
In diesem Kapitel werden die wichtigsten einfachen mathematischen Begriffe und ihre
Zusammenhänge gebracht. Entsprechend eines konsequenten logischen Aufbaues gliedert
sich daher der Text in Definitionen, welche den Begriff eindeutig beschreiben, in Sätzen,
welche die Zusammenhänge zwischen den Begriffen darstellen und beweisbar sind und in
ergänzenden Bemerkungen, welche das Verständnis vertiefen sollten.
2.1 Elemente und Mengen
Def. 2.1: Elemente
Elemente sind eindeutig identifizierbare Objekte.
Def. 2.2: Menge
Eine Menge ist die Ansammlung von Elementen.
Bemerkung: Diese Definitionen können iterativ angewendet zu beliebiger Abstraktionsstufe
führen. Jede Menge kann wieder Element einer neuen Menge sein, usw.
Def. 2.3: Teilmenge
Die Ansammlung nur eines Teiles der Elemente einer größeren Gesamtmenge wird
Teilmenge bezeichnet.
Def. 2.4: Verknüpfung
Die Verknüpfung definiert eine eindeutige Zuordnung von 2 Elementen a,b zu
einem dritten Element c. Man schreibt auch: a • b = c mit a, b, c ∈ M.
Die Verknüpfung kann auch als Abbildung: (M × M) --> M verstanden werden.
Bemerkung: Unter einer Verknüpfung oder Abbildung versteht man die eindeutige
Zuordnung eines Paares a,b zu einem Element c. Es kann daher nicht gleichzeitig a
• b = c und a • b = d mit c ≠ d sein. Unter Wohldefiniertheit der Verknüpfung oder
Abbildung versteht man, dass das Ergebnis wieder in der Menge liegen muss, auf
welche die Verknüpfung oder Abbildung definiert ist.
2.2 Gruppeneigenschaften
Def. 2.5: Gruppe
Als Gruppe G = {M, •} wird eine Menge M mit Verknüpfung • mit folgenden
Eigenschaften bezeichnet:
1. Abgeschlossenheit (nur bei Untergruppen bzw. bei nicht Wohldefiniertheit der
Verknüpfung notwendigerweise nachzuweisen)
2. assoziatives Gesetz (a • b) • c = a • (b • c) = a • b • c