Vorlesung: Gruppentheorie in Molekül - KFU

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 21
Auch in neuerer Zeit werden Symmetrien benützt, um Modelle zu vereinfachen oder Theorien
zu vereinheitlichen (Supersymmetrien, Vereinheitlichung schwache und elektromagnetische
Wechselwirkung). Unsere heutige physikalische Denkweise ist ebenfalls stark durch
Symmetrien geprägt, wie z. B. im sehr grundlegenden Noether-Theorem zum Ausdruck
kommt, welches Symmetrien mit Erhaltungssätzen verbindet.
Satz 1.1: Noether-Theorem
Wenn die Variation δW eines Integrals W Null ist, und wenn diese Variation
invariant gegenüber der kontinuierlichen Transformation mit ρ Parametern ist
(Gruppe Gρ), dann gibt es genau ρ Erhaltungssätze.
Beweis: Es war die herausragende Leistung von Emmy Noether (1882-1935), eine der
ersten Frauen, welchen eine akademische Laufbahn möglich war, diesen Satz
allgemein mathematisch zu zeigen. Hier soll darauf verzichtet werden, da dies die
höhere Mathematik der Lie-Gruppen voraussetzt. Aber basierend auf einigen
Kenntnissen der klassischen Physik, kann er für einige spezielle Fälle gezeigt
werden. So folgt z.B. gleich direkt aus der Hamilton'schen Mechanik, dass die
zeitliche Änderung des generalisierten Impulses durch die Änderung der
Gesamtenergie (Hamiltonfunktion) nach der zugehörigen generalisierten
∂H
Koordinate gegeben ist, also: p&
= − . Die geforderte allgemeine Bedingung des
∂q
naturwissenschaftlichen Prinzips, dass jedes Experiment unabhängig vom Ort sein
muss (Homogenität des Raumes), heißt, dass die Hamiltonfunktion unabhängig
vom gewählten Koordinatenursprung sein muss, also eine generalisierte Koordinate
q gibt, welche die Lage des Ursprungs bezeichnet. Der dazu generalisierte Impuls
ist der Gesamtimpuls des Systems, welcher sich nicht ändern darf und erhalten
∂H
bleibt. Ebenso erhält man die Erhaltung der Gesamtenergie = 0 , da die
∂t
Hamiltonfunktion unabhängig vom gewählten Zeitpunkt ist, oder die
Drehimpulserhaltung, da die Hamiltonfunktion invariant gegenüber der Richtung
des Raumes ist (Isotropie). In dieser Betrachtung ist nicht unmittelbar einsichtig,
warum Satz 1.1 so kompliziert formuliert ist. Es ist jedoch zu berücksichtigen, dass
wir hier bereits die Erkenntnisse des Hamiltonformalismus verwendet haben,
welcher selbst komplizierte mathematische Voraussetzungen (Variationsprinzip,
etc.) beinhaltet.
In der Quantenmechanik ist noch viel unmittelbarer der allgemeine Zusammenhang
von Erhaltungsgrößen mit Symmetrien einfach zu zeigen. Die zeitliche Änderung
einer Observablen des Operators  ergibt sich zu:
∂A ∂
∂
∂
= ψ Aˆ
ψ = ψ Aˆ
ψ + ψ Aˆ
ψ . Aus der zeitabhängigen
∂t
∂t
∂t
∂t
Schrödingergleichung Hˆ
∂
∂ 1
ψ = ih
ψ erhält man für die Zeitableitung: = Hˆ
.
∂t
∂t
ih
∂A
1
1
1
Daraus erhält man: = Hˆ
ψ Aˆ
ψ + ψ Aˆ
Hˆ
ψ = ψ Aˆ
Hˆ
− Hˆ
Aˆ
ψ . Damit
∂t
ih
ih
ih
ist die Observable A erhalten, wenn ihr Operator mit dem Hamiltonoperator
vertauscht, also [ H ˆ , Aˆ
] = 0 . Wie wir später sehen werden, vertauschen die
Symmetrieoperationen mit dem Hamiltonoperator, woraus die Erhaltungsgrößen
resultieren (siehe Abschnitt 4.2).