Vorlesung: Gruppentheorie in Molekül - KFU

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P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 20 Abb. 1.16: Das Fulleren C60 Auch Kepler versuchte mit Hilfe von Symmetrien und dem Ineinanderschachteln von den regelmäßigen Körpern Abb. 1.17 Erkenntnis zu gewinnen und wollte die Daten von den Umlaufbahnen der Planeten aus den geometrischen Körpern ableiten. Abb. 1.17: Das Keplermodell
P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 21 Auch in neuerer Zeit werden Symmetrien benützt, um Modelle zu vereinfachen oder Theorien zu vereinheitlichen (Supersymmetrien, Vereinheitlichung schwache und elektromagnetische Wechselwirkung). Unsere heutige physikalische Denkweise ist ebenfalls stark durch Symmetrien geprägt, wie z. B. im sehr grundlegenden Noether-Theorem zum Ausdruck kommt, welches Symmetrien mit Erhaltungssätzen verbindet. Satz 1.1: Noether-Theorem Wenn die Variation δW eines Integrals W Null ist, und wenn diese Variation invariant gegenüber der kontinuierlichen Transformation mit ρ Parametern ist (Gruppe Gρ), dann gibt es genau ρ Erhaltungssätze. Beweis: Es war die herausragende Leistung von Emmy Noether (1882-1935), eine der ersten Frauen, welchen eine akademische Laufbahn möglich war, diesen Satz allgemein mathematisch zu zeigen. Hier soll darauf verzichtet werden, da dies die höhere Mathematik der Lie-Gruppen voraussetzt. Aber basierend auf einigen Kenntnissen der klassischen Physik, kann er für einige spezielle Fälle gezeigt werden. So folgt z.B. gleich direkt aus der Hamilton'schen Mechanik, dass die zeitliche Änderung des generalisierten Impulses durch die Änderung der Gesamtenergie (Hamiltonfunktion) nach der zugehörigen generalisierten ∂H Koordinate gegeben ist, also: p& = − . Die geforderte allgemeine Bedingung des ∂q naturwissenschaftlichen Prinzips, dass jedes Experiment unabhängig vom Ort sein muss (Homogenität des Raumes), heißt, dass die Hamiltonfunktion unabhängig vom gewählten Koordinatenursprung sein muss, also eine generalisierte Koordinate q gibt, welche die Lage des Ursprungs bezeichnet. Der dazu generalisierte Impuls ist der Gesamtimpuls des Systems, welcher sich nicht ändern darf und erhalten ∂H bleibt. Ebenso erhält man die Erhaltung der Gesamtenergie = 0 , da die ∂t Hamiltonfunktion unabhängig vom gewählten Zeitpunkt ist, oder die Drehimpulserhaltung, da die Hamiltonfunktion invariant gegenüber der Richtung des Raumes ist (Isotropie). In dieser Betrachtung ist nicht unmittelbar einsichtig, warum Satz 1.1 so kompliziert formuliert ist. Es ist jedoch zu berücksichtigen, dass wir hier bereits die Erkenntnisse des Hamiltonformalismus verwendet haben, welcher selbst komplizierte mathematische Voraussetzungen (Variationsprinzip, etc.) beinhaltet. In der Quantenmechanik ist noch viel unmittelbarer der allgemeine Zusammenhang von Erhaltungsgrößen mit Symmetrien einfach zu zeigen. Die zeitliche Änderung einer Observablen des Operators Â ergibt sich zu: ∂A ∂ ∂ ∂ = ψ Aˆ ψ = ψ Aˆ ψ + ψ Aˆ ψ . Aus der zeitabhängigen ∂t ∂t ∂t ∂t Schrödingergleichung Hˆ ∂ ∂ 1 ψ = ih ψ erhält man für die Zeitableitung: = Hˆ . ∂t ∂t ih ∂A 1 1 1 Daraus erhält man: = Hˆ ψ Aˆ ψ + ψ Aˆ Hˆ ψ = ψ Aˆ Hˆ − Hˆ Aˆ ψ . Damit ∂t ih ih ih ist die Observable A erhalten, wenn ihr Operator mit dem Hamiltonoperator vertauscht, also [ H ˆ , Aˆ ] = 0 . Wie wir später sehen werden, vertauschen die Symmetrieoperationen mit dem Hamiltonoperator, woraus die Erhaltungsgrößen resultieren (siehe Abschnitt 4.2).
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