Vorlesung: Gruppentheorie in Molekül - KFU

7. Finden Sie die Normalteiler der Permutationsgruppe S3.
8. Beweisen Sie Satz 2.8:
f: G → G' ist Homomorphismus zwischen den Gruppen G und G'.
Es gilt:
a) f(ε) = ε'
b) ∀a ∈ G gilt: f(a-1) = f(a)-1
9. Beweisen Sie Satz 2.9: Die Eigenschaft von Gruppen zueinander isomorph zu sein ist
eine Äquivalenzrelation, d.h.:
a) idG: G → G ist Isomorphismus (Identität)
b) f: G → G' ist Isomorphismus:
dann ist auch f-1: G' → G ein Isomorphismus
c) f: G → G' und f': G' → G'' sind Isomorphismen:
dann ist auch f' * f ein Isomorphismus
10. Bestimmen Sie die Punktsymmetriegruppen der folgenden Moleküle:
a) CH4
b) NH3
c) ebenes AB3-Molekül
d) Allene: C3H4
Welche Symmetrieoperationen sind in den jeweiligen Gruppen?
Welche Klassen äquivalenter Elemente existieren?
Welche Gruppen sind kommutativ, welche zyklisch?
11. Geben Sie für die Punktgruppe D3 jeweils eine Darstellung für das elektrische und das
magnetische Moment an. Haben Sie dabei bereits die Darstellung für die Temperatur
gefunden?
Kann ein Molekül mit D3-Symmetrie ein elektrisches Dipolmoment besitzen oder ein
magnetisches Moment aufweisen?
12. Welche Schwingungstypen klassifiziert nach irreduziblen Darstellungen sind in H20
möglich? Nach welchen irreduziblen Darstellungen transformieren sich die reinen
Translationen und Rotationen des Moleküls? Geben Sie eine Basis für die G-invarianten
Unterräume der Molekülschwingung an.
13. Geben Sie eine Symmetrieanalyse der Schwingungen der Moleküle aus Beispiel 10 an.
(Methan, Amoniak, ebenes AB3 Molekül und Allene) Wie viele Schwingungen sind
dabei IR-aktiv, wie viele Raman-aktiv? In welchen Polarisationsrichtungen sind welche
Schwingungen beobachtbar.
14. Geben Sie die Auswahlregeln für den Hyperramaneffekt der Moleküle aus Beispiel 10
an.