Vorlesung: Gruppentheorie in Molekül - KFU

11. Übungen
1. Beweisen Sie:
In der Multiplikationstafel einer Gruppe kommt jedes Element in jeder Spalte und jeder
Zeile genau einmal vor.
2. Gegeben ist folgende Multiplikationstafel einer Gruppe:
E A B C D F
E E A B C D F
A A B E F C D
B B E A D F C
C C D F E A B
D D F C B E A
F F C D A B E
Dabei ist in der ersten Spalte das Element, das von links multipliziert wird und in der
ersten Zeile jenes, welches von rechts multipliziert wird.
Überprüfen Sie:
a) Ist die Gruppe abelsch?
b) Ist die Gruppe zyklisch?
c) Welche Untergruppen gibt es?
d) Welche Elemente bilden Klassen konjugierter Elemente?
e) Welche Untergruppen sind Normalteiler?
3. Warum bilden die Elemente mit der folgenden Multiplikationstafel keine Gruppe?
E A B C D F
E E A B C D F
A A B E D F C
B B E A F C D
C C D F A E B
D D F C B A E
F F C D E B A
4. Zeigen Sie, dass die Menge mit den Symmetrieelementen E, C2[001], i und σh[001] eine
Gruppe bildet bezüglich der Hintereinanderausführung. Stellen Sie die
Multiplikationstafel auf.
5. Gegeben sei eine Gruppe G die zur Gruppe G´ homomorph ist. Zeige, dass es einen
Normalteiler von G gibt, dessen Faktorgruppe zum Bild des Homomorphismuses in G´
isomorph ist. (Satz 2.10)
6. Zeigen Sie: Eine Gruppe, deren Ordnung eine Primzahl ist, muss zyklisch sein.