Vorlesung: Gruppentheorie in Molekül - KFU

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 1
Vorlesung:
Gruppentheorie in Molekül- und
Festkörperphysik, 2std.
P.Knoll
Ziel der Vorlesung ist die Vermittlung wichtiger symmetriebezogener Zusammenhänge,
welche zum Verständnis experimenteller Ergebnisse an Molekülen und Festkörpern
notwendig sind. Viele der beobachteten Molekül- und Festkörpereigenschaften können aus
der Symmetrie der Atomanordnungen abgeschätzt werden. Die Bedingungen für die
experimentelle Bestimmung (symmetriebedingte Auswahlregeln) von den einzelnen
Komponenten der Eigenschaftsgrößen (elastische Konstanten, lineare und nichtlineare
elektrische und optische Größen, Beobachtbarkeit von Phononen in der Spektroskopie etc.)
können aus Symmetrieüberlegungen abgeleitet werden. Darüber hinaus erhalten oft
komplexere physikalische Problemstellungen einfachere Gestalt, wenn innere Symmetrien
ausgenutzt werden. Im Vordergrund der Vorlesung steht neben dem in der Numerik zwar
einfachen, sonst aber komplexen, mathematischen Hintergrund vor allem die praxisbezogene
und anschauliche Einführung.
Wahlvorlesung des 2. Studienabschnittes des Prüfungsfaches Experimentalphysik,
Spezialvorlesung des 3. Studienabschnittes
freies Wahlfach
Voraussetzungen: Allgemeine physikalische Ausbildung gemäß des 1.Studienabschnittes:
Mo: 12.15 – 13.45 Uhr
Seminarraum 5.02 des Instituts für Experimentalphysik,
Universitätsplatz 5,
Zur Vorlesung gibt es ein umfangreiches Skriptum, Übungsbeispiele und verschiedene
Arbeitsblätter und Tabellen.

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Inhalt
1. Einleitung: Symmetrien in Kultur und Wissenschaft 6
1.1 Vorbemerkung 6
1.2 Prinzipien des naturwissenschaftlichen Verstehens (Erkenntnisgewinn) 6
1.3 Der Begriff Symmetrie 7
1.4 Verschiedene Formen der Symmetrie 12
1.5 Symmetrien in den Naturwissenschaften 19
2. Mathematische Grundlagen 22
2.1 Elemente und Mengen 22
2.2 Gruppeneigenschaften 22
2.3 Vertauschbarkeit von Elementen 24
2.4 Faktorgruppen, Vektorräume, Gruppenalgebren, Tensoren, etc. 25
2.5 Abbildungen 28
3. Punktsymmetrien: 31
3.1 Symmetrieoperationen und Symmetrieelemente 31
3.2 Punktsymmetriegruppen 32
3.3 Bestimmung der Symmetriegruppe und Beispiele 39
4. Mathematische Darstellung von Symmetriebeziehungen 43
4.1 Zusammenhang Physik- Mathematik 43
4.2 Symmetrien und Eigenschaften des Grundzustandes 44
4.3 Charaktere von Matrixdarstellungen, reduzible und irreduzible Darstellungen,
Charaktertafeln 46
4.4 Auffinden G-invarianter Unterräume 49
5. Beispiele: Anwendungen bei Molekülen 52
5.1 Schwingungsanalyse von H2O 52
5.2 Klassifizierung elektronischer Niveaus mit Hilfe der Hückel-Methode 54
5.3 Behandlung mehrdimensionaler irreduzibler Darstellungen an Hand von D3 55
5.4 Schwingungsanalyse von CHCl3 56
5.5 Symmetriebedingte Auswahlregeln für elektronische und vibronische Übergänge 60
6. Translationssymmetrien und Raumgruppen 61
6.1 Die Translationsgruppe 61
6.2 wichtige Begriffe: 61
6.3 Die Raumgruppen 65
7. Faktorgruppenanalyse und Multiplikatorengruppe 77
8. Beispiele: Anwendungen auf Festkörper 78
8.1 Schwingungsanalyse nach Lagesymmetrie des Hochtemperatursupraleiters
YBa2Cu3O7 bzw. YBa2Cu3O6. 78
9. Magnetische Raumgruppen, Doppelgruppen, Antisymmetrien, Zeitumkehr
82
10. wichtige Tabellen 83
10.1 Charaktertafeln 83
10.2 Korrelationstafeln 94
10.3 Produkte von irreduziblen Darstellungen 98
10.4 Lagesymmetrien (Wykofflagen) in den 230 Raumgruppen 100
10.5 Irreduzible Darstellungen von Translationen für die verschiedenen Wykofflagen 106
10.6 Irreduzible Darstellungen von Rotationen für die verschiedenen Wykofflagen 111

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11. Übungen 116
12. Verzeichnis der Abbildungen 119
13. Verzeichnis der Tafeln 119
14. Verzeichnis der Definitionen 119
15. Verzeichnis der Sätze 121

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Literatur zur Vorlesung:
Allgemein:
P.Stingl und K.Mathiak, Gruppentheorie,
Vieweg Braunschweig (1980)
G.Burns, Group Theory with Applications,
Academic Press, London (1977)
G.Burns and A.M.Glazer, Space groups for Solid State Scientists,
Academic Press, San Francisco - New York - London (1978)
Poulet/Mathieu, Vibration Spectra and Symmetry of Crystals,
Gordon and Breach, New York - London - Paris (1976)
Speziell Kapitel 1:
Caroline H.Macgillavry
"Symmetry aspects of M.C.Escher's periodic drawings"
2.Auflage, Published for the International Union of Crystallography by Bohn, Scheltema &
Holkeman, Utrecht (1976), ISBN 9031301841
Hermann Weyl
"Symmetrie"
Birkhäuser Verlag Basel, Stuttgart
deutsche Übersetzung von 'Symmetry', Princton University Press (1952)
Henning Genz
"Symmetrie - Bauplan der Natur"
Piper -München - Zürich, ISBN 3-492-3107-2
Klaus Mainzer
"Symmetrien der Natur"
de Gruyter (1988) ISBN 3-11-011507-7
Speziell für Festkörper und magnetische Symmetrien:
M. Lax
“Symmetry Principles in solids and molecular physics“
Wiley-Interscience Publication, New York (1974)
W. Opechowski
“Crystallographic and Metacrystallographic Groups“
North-Holland Physics Publishing, ISBN 0-444-86955-7
D.L.Rousseau, R.P.Bauman and S.P.S.Porto
"Normal mode determination in crystals", J.Raman Spec. Vol.10, 255 (1981)

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Erläuterungen zu den verwendeten Symbolen
Der Text ist möglichst knapp und prägnant gehalten und bedient sich daher einer genaueren
mathematischen Sprache, welche zur Abkürzung mit Symbolen unterstützt ist. Auch im
normalen Text ist bereits auf die genaue Bedeutung der Worte zu achten. So heißt z.B. „..
jedem Element wird genau ein anderes zugeordnet...“, dass Eindeutigkeit vorliegt, also in
beiden Richtungen nur jeweils ein Element einander zugeordnet ist. Im Gegensatz dazu heißt
„...jedem Element wird ein anderes zugeordnet...“, dass jedem Element zwar nur ein anderes
Element zugeordnet wird, aber dass durchaus zwei verschiedenen Elementen das gleiche
andere Element zugeordnet sein kann. Dieser kleine Unterschied wird nur durch das Wort
„genau“ zum Ausdruck gebracht. Ebenso werden eine Reihe von Symbolen zur sprachlichen
Abkürzung gebraucht, von denen einige hier kurz aufgelistet und erklärt werden sollen:
∀ für alle
∈ ist Element von
∉ ist kein Element von
⊂ ist Teilmenge
⊄ ist keine Teilmenge
< ist Untergruppe
∪ Vereinigung
∩ Durchschnitt (nimmt nur gemeinsame Elemente)
δij
Kronecker delta
∋ derart dass (mit der Eigenschaft)
∃ es existiert (im Sinne von: es existiert mindestens eines)
⇒ daraus folgt
~ ist ähnlich (Äquivalenzrelation)
{} Menge
M → G M wird auf G abgebildet
Darüber hinaus haben sich noch einige andere Schreibweisen zur Abkürzung etabliert. So
heißt zum Beispiel: { z ∈ G|z * a = a * z ∀ a ∈ G }: Die Menge der Elemente z aus G für die
gilt, dass z mal a gleich a mal z ist, für alle a aus G.
Zur leichteren Kenntlichmachung wurden Symbole fett gedruckt, wenn hervorgehoben
werden soll, dass sie Objekte bezeichnen, die Elemente eines Vektorraumes sind, hingegen
kursiv gedruckt wurde, wenn hervorgehoben werden soll, dass sie Objekte bezeichnen, die als
lineare Operatoren wirken. Die Bedeutung von vielen weiteren Symbolen und Schreibweisen,
welche ebenfalls im Text verwendet werden, sind in den entsprechenden Definitionen der
Begriffe eingeführt und erklärt.

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1.1 Vorbemerkung
1. Einleitung: Symmetrien in Kultur und Wissenschaft
Das folgende Skriptum stellt Arbeitsunterlagen zur Vorlesung dar, und soll als Erleichterung
bei der Konsumierung des Vorlesungsstoffes dienen. Es stellt keinen Anspruch auf
Vollständigkeit und auch nicht auf selbstständige didaktische Aufarbeitung. Demnach sind
wohl alle wichtigen Definitionen und Sätze enthalten, aber kaum Beweise und Beispiele. Der
verbindende Text ist auf ein Minimum gehalten, teilweise, wie z.B. bei der Behandlung der
mathematischen Grundlagen, ist oft der Inhalt alleine durch die Abfolge von Definitionen und
Sätzen bereits eindeutig festgelegt. Allerdings sind an einzelnen Stellen dann entsprechende
Bemerkungen hinzugefügt, um komplexe Zusammenhänge leichter verständlich zu machen.
Demnach ist dieses Skriptum so zu verstehen, dass es die Mitschrift teilweise ersetzt und
komplexere mathematische Zusammenhänge korrekt darstellt. Andererseits verzichtet das
Skriptum, im Gegensatz zu einem Lehrbuch, auf eine anschauliche, didaktische Darstellung,
was nur mit viel Text mühsam erreichbar wäre, und was in der Vorlesung mündlich und
graphisch mit Skizzen viel leichter und effizienter durchführbar ist. Je nach der Eigenheit des
Stoffes empfiehlt sich, bereits vor der Vorlesung den Stoff im Skriptum zu lesen und sich
über die Begriffe und Zusammenhänge Gedanken zu machen, um dann in der Vorlesung
gezielte Fragen zum Verständnis stellen zu können. Dies ist bei allen abstrakten und
komplexeren Zusammenhänge der Mathematik (Kapitel 2 und 4) empfehlenswert. Andere
Kapitel (wie z.B. das 1. oder das 3.) sind im Skriptum eher für das Nachlesen und Verarbeiten
des Vorlesungsstoffes geeignet. Wichtig sind vor allem auch die Übungen, da der Stoff erst
bei selbstständiger Beschäftigung wirklich verarbeitet und verstanden werden kann.
1.2 Prinzipien des naturwissenschaftlichen Verstehens (Erkenntnisgewinn)
Am Anfang stehen die Beobachtungen (Wahrnehmungen). Man versucht, diese auf einer
höheren Abstraktionsebene zueinander in Beziehung zu setzen, Querverbindungen zu
schaffen. All diese Querverbindungen werden letztlich zu einem Modell zusammengefasst,
welches auch als Konsequenz Vorhersagen für neue Beobachtungen (und neue
Querverbindungen) liefert. Diese können dann durch gezielte Beobachtungen verifiziert oder
falsifiziert werden. Viele kleinere Modelle können durch höhere Querverbindungen zu
übergreifenden Modellen verbunden werden, wobei man sich meist zu immer höheren
Abstraktionsstufen (bezogen auf die Ebene der unmittelbaren Beobachtung) entfernt.
Entscheidende Voraussetzung für ein Modell ist seine logische Widerspruchsfreiheit. Das
naturwissenschaftliche System beinhaltet, dass ein Modell nie bewiesen, aber durch
Beobachtungen falsifiziert werden kann.
Um möglichst hohe logische Widerspruchsfreiheit zu erreichen, versucht man die meisten
Beobachtungen und ihre Querverbindungen in die Mathematik abzubilden, um dort basierend
auf der formalen Logik, möglichst axiomatisch das Modell aufzubauen. Dies reflektiert auch
der formale Aufbau dieses Skriptums wieder, welches aus Definitionen (Axiome, können
nicht bewiesen werden) und Sätzen (Konsequenzen und logische Verknüpfungen der Axiome,
müssen bewiesen werden) besteht.
Die heutige Behandlung der Symmetrien (zum Beispiel mit Hilfe der Gruppentheorie) ist ein
Beispiel dieser naturwissenschaftlichen Vorgangsweise, welche durch die recht starke
Abgrenzung des Begriffes Symmetrie (wie er hier verstanden werden soll) in recht einfacher

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Weise aufgezeigt werden kann. Symmetrien wurden schon immer als Hilfsmittel des
Verstehens verwendet und beinhalten zunächst in einfachster Form die starke Trennung
zwischen Gleichem und Gegensätzlichem.
1.3 Der Begriff Symmetrie
Er stammt aus dem Griechischen: „συµ“ und „µετροσ“ was soviel wie „mit Maß“ oder
„wohlproportioniert“ heißen soll. Was genau darunter verstanden wird, hat sich mit der Zeit
geändert. Auch heute hat der Begriff in Kunst, Kultur, Sprachgebrauch und
Naturwissenschaften unterschiedliche Bedeutung.
Wie schon sehr früh versucht wurde, durch Symmetrie das Leben zu verstehen, zu ordnen
bzw. zu Entscheidungen zu gelangen, zeigen Rituale und Kultgegenstände früher Kulturen.
Motiviert war dies wahrscheinlich durch die regelmäßig ablaufenden Naturereignisse (wie
z.B. Tag-Nacht, Jahreszeiten, Sternbilder, Periode der Säugetiere, etc.) mit denen man
möglichst in Einklang sein musste um zu überleben. Zusammen mit der Fähigkeit des Sehens
Muster zu erkennen, entwickelte sich wohl die auf geometrischen Figuren aufbauenden Bilder
von Naturvölkern.
Abb. 1.1: Sandgemälde der Regenbogenkultur der Navajo Indianer

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Dies sieht man z.B. in Abb. 1.1 bei den Sandgemälden der Regenbogenkultur der Navajos
(Nordamerika), welche ihr „Weltbild“ als wörtlich verstandenes Gemälde wiedergeben.
Hergestellt aus verschiedenfarbigem Sand, Maismehl, Pflanzenpollen und Blütenblättern
zeigt es die Wichtigkeit von Wasser und Licht in Form des Regenbogens. Das mittlere
Quadrat symbolisiert die Quelle alles Lebens, das Wasser, und ist an den Kanten jeweils von
vier Regenbogenstreifen entsprechend der vier Himmelsrichtungen umgeben. Jeder dieser
Regenbogenstreifen besitzt einen Kopf, entweder eckig (weiblich) oder rund (männlich).
Umschlossen wird das Gemälde von einem kreisförmigen Regenbogen, welcher die
Beschützerin der Navajos, die Regengöttin symbolisiert. Außerdem sind zwei Fliegen als
Wächter oder Boten abgebildet.
Abb. 1.2: aztekische Weltkarte
Ganz ähnlich ist die aztekische Weltkarte (Mexiko) ausgeführt, die in Abb. 1.2 gezeigt ist.
Die Karte entspricht eher einem Kalender, in dem die 260 Tage (5•52, nach 5 Weltgegenden)
in Vierteln (4•5•13) aufgeteilt sind (entsprechend einer 13tägigen Woche und vier
Jahreszeiten zu je 5 Wochen). In den Bildnissen geht es jedoch etwas weniger friedfertig als
bei den Navajos zu. So steht im Mittelpunkt der Feuergott Xiuhtecutli, der von vier Seiten
Ströme aus Blut empfängt. Die Darstellung entspricht einem Kultplatz, auf dem ein
Menschenopfer zerstückelt wurde und die Leichenteile in alle Himmelsrichtungen
ausgebreitet wurden. Insgesamt sind neun Gottheiten (entsprechend den 9 Nachtstunden)

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dargestellt. Die noch fehlenden acht sind in Paaren gruppiert und nach den Windrichtungen
angeordnet: im Norden Iztli (der Opfermessergott) und Piltzintecutli (eine Nebenform des
Sonnengottes), im Osten Cinteotl (Maisgott) und Mictlantecutli (Totengott), im Süden
Chalchiuhtlicue (Wassergöttin) und Tlazolteotl (Erd- und Mondgöttin), im Westen
Tepeyollotli (Erdgott) und Tlaloc (Regengott).
Ein weiteres Beispiel, findet man in der Kultur der Jina aus indischem Einflussgebiet.
In ihrem Weltbild errichten die Götter jedem Jina ein sogenanntes Samavasarana, in deren
Mittelpunkt der Jina sitzt und meditiert. Die Jinas haben ihr Weltbild, Kalpasutra, in
Miniaturen wiedergegeben, welche erst ab dem 15. Jahrhundert eindeutig belegt sind. Im
Original des Samavasarana umgeben drei Ringmauern den runden oder quadratischen
Zentralplatz. Die Mauern haben jeweils vier Tore entsprechend der Himmelsrichtungen.
Abb. 1.3: Scricakra (indische Kabbalistik)
Viele Beispiele findet man dafür, dass symmetrische und geometrische Anordnungen nicht
nur zur Illustration des gesamten Lebensgefühles bzw. Weltbildes intuitiv verwendet wurden,
sondern ganz gezielt zu Erkenntnisgewinn und als Entscheidungshilfe eingesetzt wurden. Ein
Beispiel dafür zeigt Abb. 1.3 aus der indischen Kabbalistik (Zuordnung von Buchstaben,
Wörtern). Im Scricakra ist das Zentrum (Meru) aus 43 Dreiecken gebildet, welche von 12 und
8 blättrigen Lotusblüten umgeben sind. Die Zuordnung von Lebensfragen und
Lebensantworten erfolgte einerseits an den Lotusblüten, aber auch bei den Dreiecken, deren
drei Seiten verschiedene Silben, aber auch die Dreiheit von Denken-Stimme-Körper oder die
drei verschiedenen Lichter, Sonne, Mond und Feuer darstellen konnten. Die

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Entscheidungsfindung selbst war durch das Aufeinandertreffen von den Spitzen der Dreiecke
mit den Lotusblüten durch eine große Kombinationsmöglichkeit charakterisiert.
Bereits sehr früh wurden auch detaillierte Naturvorstellungen mit geometrischen
Anwendungen verbunden. Im „Buch der Wandlungen“ (I. Ching, 8. Jhdt. v. Chr.) werden
bereits vier naturphilosophische Gegensatzpaare von Kräften und Elementen beschrieben,
welche durch acht spiegelungssymmetrisch angeordnete Trigramme symbolisiert werden
(Abb. 1.4). Dies ist auch in Münzform erhalten. Kennzeichnend ist hier bereits die
Konzentration auf das Gegensätzliche, das Yin und Yang, wie es dann z.B. in Abb. 1.9
genauer dargestellt ist. Hier ist es das Gegensätzliche durch die Gegenüberstellung der
Begriffe, wie z.B. Feuer - Wasser, und die Gegensätzlichkeit der Symbolik, durchgezogene
Linie - gebrochene Linie.
Abb. 1.4: chinesische Naturphilosophie (Buch der Wandlungen)
Ein recht spätes Beispiel aus dem Mittelalter soll illustrieren, dass auch in unserem
Kulturkreis bis vor kurzem kabbalistische Spekulationen mit Symmetrien stattgefunden haben
und damit nicht nur der Mystik ferner Frühkulturen vorbehalten ist. In Abb. 1.5 ist die „Ars
magna“ des von Leibnitz sehr geschätzten katalanischen Philosophen Raimundus Lullus
gezeigt.
Die chinesische Kultur verwendet die Symmetrien in ihrer eigenen Art des Yin und Yang, wie
wir sie schon in Abb. 1.4 zur Beschreibung der Natur vorgefunden haben. Nach einer späteren
Deutung in der „großen Abhandlung“ (Ta Chuan) gehen diese Symbole auf die Dualität von
Licht und Dunkel zurück. Auch in der chinesischen Kultur werden diese Symbole und
Symmetrien für Erkenntnisgewinn und Entscheidungshilfen eingesetzt. Dies kommt am
besten in den Wen-Ordnungen zum Ausdruck, von denen eine in Kreis- und
Quadratdarstellung (Fu-Hsi-Ordnung) in Abb. 1.6 gezeigt ist. Die Pfeile zeigen an, in welcher
Richtung die Wen-Ordnung zu lesen ist.

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Abb. 1.5: “Ars magna“ von Raimundus Lullus, Spätmittelalter
Abb. 1.6: Fu-Hsi-Ordnung (Wen-Ordnung)

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1.4 Verschiedene Formen der Symmetrie
Def. 1.1: Isometrie
Isometrie ist die räumliche und/oder zeitliche Wiederholung gleicher (identischer)
Elemente (ισοσ = gleich im Sinne von identisch)
Abb. 1.7: Verschiedene Ornamente mit Isometrie
Bemerkung: Isometrie besteht aus Translationssymmetrie (ähnlich wie der Aufbau des
Festkörpers). Bei den Ornamenten (eindimensionale Translationsgruppe) können
die Translationen mit weiteren Symmetrieoperationen kombiniert werden. Dies
führt zu den 7 verschiedenen Friesgruppen (entspricht den Raumgruppen beim
Festkörper). In Abb. 1.7 sind diese Friesgruppen dargestellt: 1) reine Translation
um Translationsvektor a, 2) Translation und Spiegelung um Längsachse, 3)
Translation und Spiegelung um Querachse, 4) Translation und Inversion
(Drehung um 180°), 5) Kombination der Friesgruppen 1, 2, 3 und 4, 6)
Translation und Gleitspiegelung, 7) Kombination der Friesgruppen 3, 4 und 6.
Def. 1.2: Homöometrie
Homöometrie ist die räumliche und/oder zeitliche Wiederholung gleichartiger
(ähnlicher) Elemente (οµεοσ = gleichartig)

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Abb. 1.8: Homöometrie
Def. 1.3: Antisymmetrie
Die Antisymmetrie ist die Anordnung von gegensätzlichen Elementen, Art von
Gegensymmetrie, Umkehrsymmetrie oder Schwarz-Weiß-Symmetrie. (jedoch nicht
asymmetrisch) (Bsp. Antiferromagnetismus)
Diese Antisymmetrie kommt am besten im Yin-Yang Symbol (Abb. 1.9) zum Ausdruck, da
die chinesische Philosophie besonders auf den Gegensätzen aufbaut.

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Abb. 1.9. Yin-Yang-Symbol
Eine Erweiterung in der Beschreibung von Gegensätzen erhält man, wenn man mehr als nur
zwei Zustände (schwarz, weiss) zulässt.
Def. 1.4: Farbsymmetrie
Die Farbsymmetrie stellt die Erweiterung der Antisymmetrie auf mehr als nur +1, -
1 Zustände dar. (Beispiele: Quarkmodelle)
Beispiele für die Farbsymmetrie geben die Bekannten Bilder von Escher. In Abb. 1.10 sind
"die Fische" gezeigt. Man sieht, dass durch Drehungen um jeweils 90° der weiße Fisch in
den braunen, in den Roten und dann in den blauen übergeht. (Gegenuhrzeigersinn). Es liegt
also eine 4-zählige Drehsymmetrie vor (4-malige Drehung um 90° ergibt wieder die
Ausgangsposition), wenn gleichzeitig der Zustand (Farbe) entsprechend geändert wird.

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Abb. 1.10: Farbsymmetrie der Fische (Escher)
In der Kunst war man schon früh bestrebt, Regeln für Wohlproportioniertheit einzuführen.
Der „goldene Schnitt“ wurde dabei auch für besondere Wohlproportioniertheit bei der
Darstellung des menschlichen Körpers verwendet. Dies kommt zum Beispiel bei der
berühmten Darstellung von Leonardo da Vinci (Abb. 1.11) zum Ausdruck. Der goldene
Schnitt ergibt sich bei vielen geometrischen Figuren. Z.B. erhält man ihn aus dem
Teilverhältnis der Diagonalen des regelmäßigen Fünfeckes, oder aus dem Verhältnis
Kantenlänge des über dem Durchmesser eines Kreises eingeschriebenen Quadrates (Quadrat
über A,B in Abb. 1.11) zum Rechteck mit einer Kantenlänge gleich dem des eingeschriebenen
Quadrates und der anderen Kantenlänge gleich der halben Differenz von Kreisdurchmesser
und Quadratkantenlänge (Strecke CA oder BD in Abb. 1.11). Das Verhältnis τ = AB/CA
entspricht dem Goldenen Schnitt und ist: τ = 0.5(1+√5) = 1,618..... Einen analytischen
Ausdruck für τ bekommt man auch, wenn man eine Strecke a so auf eine Länge x teilt, dass
die Fläche des Quadrates über x gleich der Fläche des Rechteckes gebildet aus a-x und a ist.
Also: x 2 =a(a-x) und a/x = τ. Daraus folgt, dass τ = 0.5(1±√5) ist.

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 16
Abb. 1.11: Darstellung des menschlichen Körpers nach dem goldenen Schnitt.
Def. 1.5: Asymmetrie
Die Asymmetrie stellt eine Symmetriebrechung dar; es liegen keine Symmetrien
vor.
In der belebten Natur, sind meist nie irgendwelche Symmetrien vollständig gegeben. Diese
geringen Abweichungen machen aber meist den Reiz oder Spannung aus (Nachempfunden in
der Kunst). Daran ist sogar der Schönheitsbegriff gebunden, wie es z.B. das als schlechthin
geltende Schönheitsideal, die Abbildung der Aphrodite (Abb. 1.12), verkörpert. Der
besondere Reiz geht hier vor allem von den kleinen Abweichungen der Proportionen vom
goldenen Schnitt aus. Symmetriebrechung macht überhaupt erst die Evolution und
Entwicklung des Lebens möglich (Abb. 1.13), im Gegensatz zu starrer Kopie (Klonen).
Abbildungen aus der Natur (Abb. 1.14) belegen, dass zwar stark symmetrische Formen
ausgebildet sind, aber doch keine Symmetrien im mathematischen Sinne vorliegen.

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Abb. 1.12: Darstellung der Aphrodite mit Abweichungen der Proportionen vom goldenen
Schnitt

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 18
Abb. 1.13: Symmetriebrechung in der Duplizierung der DNS (Mutationen)
Abb. 1.14: Verschiedene Beispiele aus „stark“ symmetrischen Formen in der Natur
(sind aber im mathematischen Sinn asymmetrisch)

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1.5 Symmetrien in den Naturwissenschaften
In den Naturwissenschaften war schon immer das Bestreben gegeben, durch Symmetrien zu
Verständnis zu gelangen. Dies war z.B. bei Platon mit den 5 Platonischen Körpern (Abb.
1.15) zur Charakterisierung von Feuer (Tetraeder), Erde (Würfel), Luft (Oktaeder), Wasser
(Ikosaeder) und des Universums (Dodekaeder) zu erkennen.
Abb. 1.15: Die 5 platonischen Körper (Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Ikosaeder,
Dodekaeder)
Diese regelmäßigen Körper im 3-dimensionalen Raum gehen auf Theaitetos zurück. Er
zeigte, dass dies die einzigen Körper sind, deren Begrenzungsflächen aus den gleichen
regelmäßigen Vielecken (Dreieck, Quadrat, Fünfeck) aufgebaut sind.
Eine Erweiterung dieser Körper bekommt man, wenn man die strikten Bedingungen der
gleichen Begrenzungsflächen aufhebt und verschiedene regelmäßige Vielecke zulässt. Man
erhält die zusätzlichen 13 archimedischen Körper. Einer dieser archimedischen Körper
entspricht der Struktur der in letzter Zeit stark diskutierten Fullerene, welche aus 5 und 6-
Ecken aufgebaut sind. Die Bezeichnung geht auf den Architekten Buckminster Fuller zurück,
der solche Konstruktionen, welche heute oft als Kunststoffabdeckungen von Radarschirmen
zu sehen sind, verwendete. In Abb. 1.16 ist das "bucky ball" C60 gezeigt, welches aus 60
Kohlenstoffatomen angeordnet in regelmäßigen 6- und 5-Ecken aufgebaut ist.

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 20
Abb. 1.16: Das Fulleren C60
Auch Kepler versuchte mit Hilfe von Symmetrien und dem Ineinanderschachteln von den
regelmäßigen Körpern Abb. 1.17 Erkenntnis zu gewinnen und wollte die Daten von den
Umlaufbahnen der Planeten aus den geometrischen Körpern ableiten.
Abb. 1.17: Das Keplermodell

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 21
Auch in neuerer Zeit werden Symmetrien benützt, um Modelle zu vereinfachen oder Theorien
zu vereinheitlichen (Supersymmetrien, Vereinheitlichung schwache und elektromagnetische
Wechselwirkung). Unsere heutige physikalische Denkweise ist ebenfalls stark durch
Symmetrien geprägt, wie z. B. im sehr grundlegenden Noether-Theorem zum Ausdruck
kommt, welches Symmetrien mit Erhaltungssätzen verbindet.
Satz 1.1: Noether-Theorem
Wenn die Variation δW eines Integrals W Null ist, und wenn diese Variation
invariant gegenüber der kontinuierlichen Transformation mit ρ Parametern ist
(Gruppe Gρ), dann gibt es genau ρ Erhaltungssätze.
Beweis: Es war die herausragende Leistung von Emmy Noether (1882-1935), eine der
ersten Frauen, welchen eine akademische Laufbahn möglich war, diesen Satz
allgemein mathematisch zu zeigen. Hier soll darauf verzichtet werden, da dies die
höhere Mathematik der Lie-Gruppen voraussetzt. Aber basierend auf einigen
Kenntnissen der klassischen Physik, kann er für einige spezielle Fälle gezeigt
werden. So folgt z.B. gleich direkt aus der Hamilton'schen Mechanik, dass die
zeitliche Änderung des generalisierten Impulses durch die Änderung der
Gesamtenergie (Hamiltonfunktion) nach der zugehörigen generalisierten
∂H
Koordinate gegeben ist, also: p&
= − . Die geforderte allgemeine Bedingung des
∂q
naturwissenschaftlichen Prinzips, dass jedes Experiment unabhängig vom Ort sein
muss (Homogenität des Raumes), heißt, dass die Hamiltonfunktion unabhängig
vom gewählten Koordinatenursprung sein muss, also eine generalisierte Koordinate
q gibt, welche die Lage des Ursprungs bezeichnet. Der dazu generalisierte Impuls
ist der Gesamtimpuls des Systems, welcher sich nicht ändern darf und erhalten
∂H
bleibt. Ebenso erhält man die Erhaltung der Gesamtenergie = 0 , da die
∂t
Hamiltonfunktion unabhängig vom gewählten Zeitpunkt ist, oder die
Drehimpulserhaltung, da die Hamiltonfunktion invariant gegenüber der Richtung
des Raumes ist (Isotropie). In dieser Betrachtung ist nicht unmittelbar einsichtig,
warum Satz 1.1 so kompliziert formuliert ist. Es ist jedoch zu berücksichtigen, dass
wir hier bereits die Erkenntnisse des Hamiltonformalismus verwendet haben,
welcher selbst komplizierte mathematische Voraussetzungen (Variationsprinzip,
etc.) beinhaltet.
In der Quantenmechanik ist noch viel unmittelbarer der allgemeine Zusammenhang
von Erhaltungsgrößen mit Symmetrien einfach zu zeigen. Die zeitliche Änderung
einer Observablen des Operators  ergibt sich zu:
∂A ∂
∂
∂
= ψ Aˆ
ψ = ψ Aˆ
ψ + ψ Aˆ
ψ . Aus der zeitabhängigen
∂t
∂t
∂t
∂t
Schrödingergleichung Hˆ
∂
∂ 1
ψ = ih
ψ erhält man für die Zeitableitung: = Hˆ
.
∂t
∂t
ih
∂A
1
1
1
Daraus erhält man: = Hˆ
ψ Aˆ
ψ + ψ Aˆ
Hˆ
ψ = ψ Aˆ
Hˆ
− Hˆ
Aˆ
ψ . Damit
∂t
ih
ih
ih
ist die Observable A erhalten, wenn ihr Operator mit dem Hamiltonoperator
vertauscht, also [ H ˆ , Aˆ
] = 0 . Wie wir später sehen werden, vertauschen die
Symmetrieoperationen mit dem Hamiltonoperator, woraus die Erhaltungsgrößen
resultieren (siehe Abschnitt 4.2).

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 22
2. Mathematische Grundlagen
In diesem Kapitel werden die wichtigsten einfachen mathematischen Begriffe und ihre
Zusammenhänge gebracht. Entsprechend eines konsequenten logischen Aufbaues gliedert
sich daher der Text in Definitionen, welche den Begriff eindeutig beschreiben, in Sätzen,
welche die Zusammenhänge zwischen den Begriffen darstellen und beweisbar sind und in
ergänzenden Bemerkungen, welche das Verständnis vertiefen sollten.
2.1 Elemente und Mengen
Def. 2.1: Elemente
Elemente sind eindeutig identifizierbare Objekte.
Def. 2.2: Menge
Eine Menge ist die Ansammlung von Elementen.
Bemerkung: Diese Definitionen können iterativ angewendet zu beliebiger Abstraktionsstufe
führen. Jede Menge kann wieder Element einer neuen Menge sein, usw.
Def. 2.3: Teilmenge
Die Ansammlung nur eines Teiles der Elemente einer größeren Gesamtmenge wird
Teilmenge bezeichnet.
Def. 2.4: Verknüpfung
Die Verknüpfung definiert eine eindeutige Zuordnung von 2 Elementen a,b zu
einem dritten Element c. Man schreibt auch: a • b = c mit a, b, c ∈ M.
Die Verknüpfung kann auch als Abbildung: (M × M) --> M verstanden werden.
Bemerkung: Unter einer Verknüpfung oder Abbildung versteht man die eindeutige
Zuordnung eines Paares a,b zu einem Element c. Es kann daher nicht gleichzeitig a
• b = c und a • b = d mit c ≠ d sein. Unter Wohldefiniertheit der Verknüpfung oder
Abbildung versteht man, dass das Ergebnis wieder in der Menge liegen muss, auf
welche die Verknüpfung oder Abbildung definiert ist.
2.2 Gruppeneigenschaften
Def. 2.5: Gruppe
Als Gruppe G = {M, •} wird eine Menge M mit Verknüpfung • mit folgenden
Eigenschaften bezeichnet:
1. Abgeschlossenheit (nur bei Untergruppen bzw. bei nicht Wohldefiniertheit der
Verknüpfung notwendigerweise nachzuweisen)
2. assoziatives Gesetz (a • b) • c = a • (b • c) = a • b • c

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 23
3. neutrales Element: ∃ ε aus M: ε • a = a ∀ a aus M.
4. inverses Element: ∃ a-1 aus M: a-1 • a = a • a-1 = ε ∀ a aus M.
bei abelschen Gruppen
5. kommutatives Gesetz (Vertauschbarkeit): a • b = b • a ∀ a, b aus M,
oder [a, b] = 0.
Bemerkung: Beispiele von Gruppen sind die reellen Zahlen bezüglich der Multiplikation
(R,•), die ganzen Zahlen bezüglich der Addition (Z, +), Permutationen (z.B. S3),
usw. Keine Gruppe bilden z.B. die natürlichen Zahlen bezüglich der Addition (N,
+) (kein inverses Element). Man beachte, dass für das inverse Element die
Vertauschbarkeit mit dem Element in der Definition beinhaltet ist, während für das
neutrale Element es sich als Konsequenz ergibt.
Def. 2.6: Untergruppe
Die Untergruppe ist eine Teilmenge U von der Gruppe G, wenn folgende
Bedingungen für diese Teilmenge bezüglich der Verknüpfung erfüllt sind:
1. es gilt die Abgeschlossenheit (Pkt.1 aus Def. 2.5: Gruppe)
2. das inverse Element existiert in U (Pkt. 4 aus Def. 2.5: Gruppe)
Man schreibt auch: U < G
Beispiel: Einfaches Rechnen in Gruppen.
Aus der Definition der Gruppe ergeben sich einige weitere Konsequenzen. Es
folgt die Eindeutigkeit von neutralem und inversem Element, die Verknüpfung
mit dem neutralen Element ist immer kommutativ und außerdem ist das Element
selbst das Inverse zu seinem inversen Element.
1) Eindeutigkeit von ε:
ε • a = a und ε‘ • a = a mit ε ≠ ε‘
ε • a = ε‘ • a | • a -1
ε • a • a -1 = ε‘ • a • a -1 mit a • a -1 = ε oder ε‘
ε • ε = ε‘ • ε‘ ⇒ ε = ε‘ ist Widerspruch. Daher ε = ε‘.
2) Eindeutigkeit von a -1 :
a • a -1 = a • a -1 ‘ | a -1 •
a -1 • a • a -1 = a -1 • a • a -1 ‘ ⇒ ε • a -1 = ε • a -1 ‘ ⇒ a -1 = a -1 ‘
3) ε ist mit allen Elementen kommutativ:
a = ε • a = a • a -1 • a = a • ε.
4) Inverses zu a -1 :
(a -1 ) -1 • a -1 = ε = a • a -1 | • a
(a -1 ) -1 • ε = a • ε ⇒ (a -1 ) -1 = a .
Bemerkung: Erst durch diese Rechenregeln ist das Lösen von Gleichungen sichergestellt, da
sowohl von rechts als auch von links immer so multipliziert werden kann, dass
nach einer beliebigen Variablen ein lineares Gleichungssystem aufgelöst werden
kann.

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 24
Def. 2.7: Ordnung
Die Ordnung einer Gruppe ist die Anzahl der Elemente in der Gruppe. Gilt für ein
Element, dass a n = ε, dann heißt n die Ordnung des Elementes. Besteht die Gruppe
nur aus den Elementen der Gestalt a n (n=1,2,....N) mit a N =a 0 = ε, dann heißt die
Gruppe zyklisch. Das Element a wird erzeugendes Element genannt. (Die
Schreibweise a n ist eine Abkürzung für die n-malige Hintereinanderausführung der
Verknüpfung mit dem Element a: a n = a • a • a• a ....... • a (n-mal)
Bemerkung: In zyklischen Gruppen ist die Gruppenordnung gleich der Ordnung ihres
erzeugenden Elementes. Außerdem sind zyklische Gruppen immer kommutativ. In
nicht zyklischen Gruppen ist die Gruppenordnung stets größer als die Ordnung
irgendeines ihrer Elemente. Nicht zyklische Gruppen besitzen mehrere erzeugende
Elemente.
Satz 2.1: Satz von Lagrange
In endlichen Gruppen ist die Ordnung einer Untergruppe immer ein Teiler der
Gruppenordnung.
Beweis: Der Beweis basiert auf der Tatsache, dass mit jeder Untergruppe links- oder
rechts-Nebenklassen (siehe Def. 2.13) der Gruppe gebildet werden können, welche
eine Klasseneinteilung der Gruppe im Sinne von Def. 2.8 darstellen. Wenn z.B. die
Linksnebenklassen bU gebildet werden (mit U

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 25
Elemente heißen kommutativ zueinander wenn a * b = b * a.
Def. 2.11: Zentrum
Alle jene Elemente einer Gruppe G heißen Zentrum Z der Gruppe, welche mit allen
anderen Elementen aus G kommutieren.
Z := { z ∈ G|z * a = a * z ∀ a ∈ G }
Satz 2.2: über das Zentrum
Das Zentrum Z einer Gruppe G bildet eine abel'sche Untergruppe.
Beweis: Es ist zu zeigen, dass das Zentrum eine Gruppe bildet, Dies erfolgt unter strikter
Anwendung von Def. 2.6. Die Vertauschbarkeit ergibt sich direkt aus Def. 2.11.
Def. 2.12: konjugierte Elemente
Zwei Elemente a,b heißen konjugiert, wenn ein Element c aus G existiert, sodass
a * c = c * b.
Bemerkung: In abel’schen Gruppen ist jedes Element nur zu sich selbst konjugiert.
Def. 2.13: Nebenklassen
Für eine Untergruppe U von G heißen die Mengen gU (Ug) Linksnebenklassen
(Rechtsnebenklassen) der Untergruppe U in G (mit g aus G ). Gemeint ist hier die
Menge aller Ergebnisse der Verknüpfung des Elementes g mit allen Elementen aus
U.
Def. 2.14: Normalteiler
Eine Untergruppe N von G heißt Normalteiler von G, wenn für N die Links- und
Rechtsnebenklassen gleich sind.
Bemerkung: Das Zentrum der Gruppe ist immer Normalteiler. Aber es gilt nicht die
Umkehrung.
2.4 Faktorgruppen, Vektorräume, Gruppenalgebren, Tensoren, etc.
Def. 2.15: Faktorgruppe
Die Menge der Nebenklassen eines Normalteilers N von G heißt Faktorgruppe
G/N.
Satz 2.3: Faktorgruppe
Die Faktorgruppe bildet eine Gruppe bezüglich der Verknüpfung
aN * bN = (a * b)N.

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 26
Beweis: Der Beweis benützt einfach die Def. 2.15 der Faktorgruppe und überträgt
entsprechend die Gruppeneigenschaften von G auf die soeben definierte
Verknüpfung für die Faktorgruppe entsprechend der Gruppenaxiome aus Def. 2.5.
Bemerkung: Beispiele für Faktorgruppen sind die Restklassen. Die geraden Zahlen sind z.B.
eine Untergruppe und Normalteiler von (Z, +). Die dazugehörenden Nebenklassen
sind die der geraden und ungeraden Zahlen. Die Fakorgruppe ist die Menge {u,g}
mit der Verknüpfung +, u+u=g, g+g=g, u+g=g+u=u.
Mit Hilfe der Faktorgruppe kann aus einer großen Gruppe eine kleinere Gruppe mit
entsprechend eingeschränkten Eigenschaften extrahiert werden.
Def. 2.16: Vektorraum (Tensorraum)
Ein n-dimensionaler Vektorraum (Tensorraum) ist eine Menge V von Elementen
A,B, ........,X, genannt Vektoren (Tensoren), die eine Gruppe bilden, zusammen mit
Skalaren a,b,c,....aus der Menge R, die einen Körper bildet, mit folgenden
Eigenschaften:
1. (V,+) ist Gruppe
2. (R, +, *) ist Körper, d.h. {R,+} abelsche Gruppe, {R\{0}, *} Gruppe,
beide Verknüpfungen +,* genügen den distributiven Gesetzen:
a*(b+c) = (a*b)+(a*c)
(a+b)*c = (a*c)+(b*c)
3. Verbindung Skalar mit Vektor (Tensor)
a) mit a aus R und A aus V ist aA aus V (Definiert eine Verknüpfung)
b) a,b aus R, a(bA) = (a * b)A
c) a(A + B) = aA + aB
d) (a+b)A = aA + bA
e) 1A = A
4. Es gibt eine Basis in V. d.h.:
jeder Vektor (Tensor) A = a1B1+a2B2+.....+anBn lässt sich durch
Linearkombination von n-verschiedenen Basisvektoren darstellen.
Bemerkung: In dieser Definition werden alle wichtigen Eigenschaften von Vektorräumen
(Funktionenräumen, Tensorräumen) zusammengefasst und es wird auf eine
axiomatische Einführung, wie sie im strengeren mathematischen Sinn gefordert ist,
verzichtet. Insbesondere wird bereits die Existenz einer Basis in die Definition
miteinbezogen. Im Speziellen betrachten wir Vektorräume V die aus mehreren
Skalaren (aus R) aufgebaut sind. z.B. (a1, a2, .........an). Beispiele sind der 3dimensionale
Raum, die 3x3 Matrizen, Polynome (Funktionenraum) etc.
Def. 2.17: Unterraum
U ist k-dimensionaler Unterraum von V, wenn U nicht Leermenge ist und die
Axiome aus Def. 2.16 für U anstelle von V gelten mit U ist Untergruppe von V.
Bemerkung: Beispiele sind Geraden oder Ebenen im 3-dimensionalen Raum.

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 27
Def. 2.18: Inneres Produkt
Abbildung von V × V nach R oder: Zuordnung einer Paares aus V zu einem Skalar
in R (reelle Zahl):
(A,B) = a mit folgenden Eigenschaften: (A,B ∈ V, a, r ∈ R)
a) (A,A) > 0 genau dann, wenn A ≠ 0
b) (A,B) = (B,A)
c) (A+B,C) = (A,C) + (B,C)
d) (rA,B) = r(A,B)
Bemerkung: (A, A) = |A| heißt Betrag von A. Weiters gilt: (0,A)=(A,0)=0.
Wenn |A|=1 heißt A normiert, wenn (A,B)=0 heißen A, B orthogonal zueinander.
Auf diese Weise können orthogonale und orthonormale (orthogonal und normierte)
Basen gebildet werden. Für eine orthonormale Basis gilt: (Bi,Bj)=δij.
Def. 2.19: Gruppenalgebra
zu einer Gruppe G = {g1,g2,g3, ....| *} ist die Menge aller
Linearkombinationen gebildet mit den Elementen ri aus einem Körper R gemäß
Def. 2.16:
ξ = r1g1+r2g2+.......(analog zu Vektorraum) mit zusätzlich definierten
Verknüpfungen g1+g2 und r1g1
Die Gruppenalgebra G ~
Bemerkung: Mit den zusätzlich definierten Verknüpfungen ξ1+ξ2 = ∑ xσσ
+ ∑ yσσ=
σ
σ
∑ (xσ+ y σ)
σ bzw. ξ1 * ξ2 = ∑ xσσ
* ∑ yσσ
= ∑ (xσiy σj) σσ i j kann die
Def. 2.20: Idempotenz
σ
σ
Gruppenalgebra zu einem Vektorraum erweitert werden. Insbesondere können
dann alle für Vektorräume definierten Begriffe (z.B. die Orthogonalität) auf
Gruppenalgebren übertragen werden.
Ein Element π der Gruppenalgebra heißt idempotent, wenn π2 = π.
Def. 2.21: Direktes Produkt ⊗, Tensorprodukt
G1 und G2 sind Untergruppen von G:
G1 ⊗ G2 := {g1g2| g1 ∈ G1, g2 ∈ G2} und
g1g2 = g2g1 und
G1,G2 haben nur neutrales Element aus G gemeinsam: G1∩G2={ε}
Satz 2.4: über direkte Produkte
G1 ⊗ G2 < G (ist Untergruppe von G). Wenn n1 = |G1| (Ordnung der Gruppe)
und n2 = |G2|, dann ist n1n2 = |G1 ⊗ G2|.
σ
ij

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 28
Beweis: Der Beweis erfolgt direkt aus der Gruppeneigenschaft von G (Def. 2.5) und der
genauen Definition des direkten Produktes (Def. 2.21).
Bemerkung: Das direktes Produkt von Vektorräumen (Tensorräumen) wird Tensorprodukt
⊗ genannt. Analog wird die direkte Summe ⊕ von Gruppen und Vektorräumen
definiert.
2.5 Abbildungen
Def. 2.22: Abbildung
Zwei Mengen M1 und M2 sind vorgegeben. Eine Abbildung ist eine eindeutige
Zuordnung eines beliebigen Elementes von M1 zu einem Element aus M2.
Def. 2.23: Äquivalenzrelation
Eine Äquivalenzrelation ist eine Abbildung von M → M.
Mit a,b aus M ist a ~ b (a äquvalent b) eine Äquivalenzrelation, wenn folgendes
gilt:
a) Identität: a ~ a
b) reflexiv: a ~ b -> b ~ a
c) transitiv: a ~ b und b ~ c ⇒ a ~ c
Satz 2.5: Existenz von Äquivalenzrelationen
Eine Äquivalenzrelation in M existiert genau dann, wenn eine Klasseneinteilung
von M existiert.
Beweis: Der Beweis muss wegen des Wortes „genau“ in beiden Richtungen geführt
werden. Einmal geht man von der Existenz einer Äquivalenzrelation aus und zeigt
unter Benützung ihrer Eigenschaften (Def. 2.23), dass daraus eine
Klasseneinteilung (mit den Eigenschaften aus Def. 2.8) der Menge M resultiert,
andererseits gibt man eine Klasseneinteilung (Def. 2.8) vor und zeigt, dass die
Eigenschaft einer Klasse anzugehören bereits eine Äquivalenzrelation (Def. 2.23)
ist.
Satz 2.6: Klassen konjugierter Elemente
Die Eigenschaft aus Def. 2.12 (a ist konjugiert zu b) ist eine Äquivalenzrelation,
wodurch eine Klasseneinteilung der Gruppe resultiert
Beweis: Es wird direkt aus den Eigenschaften Def. 2.12 der konjugierten Elemente
gezeigt, dass diese den Eigenschaften Def. 2.23 der Äquivalenzrelation
entsprechen. Wegen Satz 2.6 folgt dann direkt die Klasseneinteilung.
Bemerkung: Eine Folgerung von Satz 2.5 und Satz 2.6 ist, dass die konjugierten Elemente
eine Klasseneinteilung der Gruppe bilden. Diese Klassen heißen Klassen
konjugierter Elemente.

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 29
Def. 2.24: Homomorphismus
Ein Homomorphismus ist die Abbildung zwischen zwei Mengen M1 und M2, auf
die jeweils eine Verknüpfung + bzw. * definiert ist, wobei die
Verknüpfungseigenschaften erhalten bleiben.
f: (M1,+) → (M2,*) mit a,b aus M1 ist homomorph wenn gilt: f(a+b) = f(a) * f(b).
Def. 2.25: injektiv, Monomorphismus
Eine Abbildung von M nach M' heißt injektiv, wenn jedem Element aus M genau
ein Element aus M' zugeordnet wird (eineindeutig). Ein injektiver
Homomorphismus heißt Monomorphismus.
Def. 2.26: surjektiv, Epimorphismus
Kann jedes Element b aus M' geschrieben werden als b = f(a) mit a aus M, dann
heißt die Abbildung surjektiv. Ein surjektiver Homomorphismus heißt
Epimorphismus.
Def. 2.27: bijektiv, Isomorphismus
Eine injektive und surjektive Abbildung heißt bijektiv. Ein bijektiver
Homomorphismus heißt Isomorphismus.
Satz 2.7: Verknüpfung von Homomorphismen
f: M → M' und f': M' → M'' sind Homomorphismen. f' * f : M → M'' ist ebenfalls
Homomorphismus. Die Verknüpfung der beiden Homomorphismen ist dabei als
Hintereinanderausführung definiert.
Beweis: Unter Verwendung der Def. 2.24 über Homomorphismen ist mit der
Hintereinanderausführung leicht zu zeigen, dass das Ergebnis ebenfalls die
Eigenschaften Def. 2.24 des Homomorphismus besitzt.
Satz 2.8: Eigenschaften des Homomorphismus
f: G → G' ist Homomorphismus zwischen den Gruppen G und G'.
Es gilt:
a) f(ε) = ε'
b) ∀a ∈ G gilt: f(a-1) = f(a)-1
Beweis: Aus der Eindeutigkeit von neutralem und inversem Element kann mit den
Eigenschaften Def. 2.24 des Homomorphismuses der Beweis leicht erbracht
werden. (Übungsaufgabe)
Satz 2.9: Eigenschaften von Isomorphismen
Isomorphismen zwischen Gruppen G, G' und G'':
a) idG: G → G ist Isomorphismus (Identität)

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 30
b) f: G → G' ist Isomorphismus:
dann ist auch f-1: G' → G ein Isomorphismus
c) f: G → G' und f': G' → G'' sind Isomorphismen:
dann ist auch f'* f ein Isomorphismus (Hintereinanderausführung)
Beweis: Der Beweis ergibt sich direkt aus den Eigenschaften des Isomorphismuses, wie
sie in Def. 2.24 zusammen mit Def. 2.27 vorgegeben sind. (Übungsbeispiel)
Bemerkung: Eine Folgerung ist auch, dass der Isomorphismus zwischen Gruppen auch eine
Äquivalenzrelation ist. Daher lassen sich Gruppen in Klassen äquivalenter
(isomorpher) Gruppen einteilen. Existiert zwischen zwei Gruppen ein
Isomorphismus, dann heißen die Gruppen auch isomorph zueinander. Isomorphe
Gruppen haben gleiche Gruppentafeln. (Können daher wie identische Gruppen
behandelt werden.)
Def. 2.28: Kern eines Homomorphismus
f ist Homomorphismus zwischen Gruppen G und G'.
Die Menge Kerf := {g ∈ G| mit f(g) = ε'} heißt Kern von f.
Satz 2.10: weitere Eigenschaften eines Homomorphismus
f ist Homomorphismus zwischen Gruppen G und G'.
a) f(G) < G' ist Untergruppe von G'
b) G/Kerf ist isomorph zu f(G); Kerf ist Normalteiler von G.
Beweis: Der Beweis für a) wird direkt für jede der Eigenschaften Def. 2.6 der
Untergruppe mit Hilfe der Eigenschaften Def. 2.24 des Homomorphismus erbracht.
Für b) wird zunächst gezeigt, dass Kerf ein Normalteiler ist und dann, dass die
Faktorgruppe isomorph zum Bild des Homomorphismuses ist. (Man benützt Def.
2.13, Def. 2.14, Def. 2.15, Def. 2.24, Def. 2.27) (Übungsbeispiel)
Bemerkung: Der letzte Satz erleichtert das Auffinden von Normalteilern einer Gruppe.

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 31
3. Punktsymmetrien:
3.1 Symmetrieoperationen und Symmetrieelemente
Def. 3.1: Symmetrieoperationen
Eine Symmetrieoperation ist eine Bewegung im Raum (der Atome des Moleküls
oder Festkörpers im 3 dim. Ortsraum) in eine dem Ausgangszustand äquivalente
Konfiguration, welche ununterscheidbar (gleiche Eigenschaften) aber nicht
notwendigerweise identisch dem Ausgangszustand ist.
Mit dieser Definition werden andere Symmetrien, die ebenfalls mit der Gruppentheorie
behandelt werden (z. B. Zeitumkehr), zunächst ausgeschlossen, wenn als Raum der
gewöhnliche Ortsraum angesehen wird. Weiters impliziert der Ausdruck ununterscheidbar,
dass dabei das Molekül oder der Festkörper nicht seine Lage im Raum in unterscheidbarer
Weise geändert haben darf. Der Spezialfall von keiner Veränderung (wird meist mit dem
Symbol E bezeichnet), und daher identischem Endzustand ist ebenfalls inkludiert. Der
eigentliche tiefere Sinn der Def. 3.1 liegt in der unterschiedlichen Bedeutung von
ununterscheidbar (oder auch äquivalent) und identisch. In Abb. 3.1 sind z.B. die
gleichseitigen Dreiecke mit ununterscheidbaren Ecken aufgebaut. Davon führen die ersten
beiden Operationen zu ununterscheidbaren Positionen, während die letzte eine identische ist.
Abb. 3.1: Unterschied zwischen identisch und äquivalent (ununterscheidbar).

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 32
Die Vertauschung der Ecken - z.B. durch Drehungen um 120° = 2π/3 - führt das Dreieck in
äquivalente Konfigurationen II und III über, die aber nicht identisch sind. Nur die gleiche
Anordnung der Ecken in Konfiguration IV und I sind zueinander identisch. Die
ununterscheidbaren äquivalenten Konfigurationen haben auch ununterscheidbare
physikalische Eigenschaften gemäß Def. 3.1. Die identischen Konfigurationen sind dabei
nicht in ihren physikalischen Eigenschaften ausgezeichnet, sondern sind nur fiktiv durch eine
Durchnummerierung der Ecken identifizierbar.
Die Eigenschaft von räumlichen Objekten ununterscheidbar (oder äquivalent) zu sein erfüllt
alle Bedingungen einer Äquivalenzrelation. Dadurch kann eine Klasseneinteilung nach
äquivalenten Objekten durchgeführt werden. Wichtig ist jedoch die Transitivität der
Eigenschaft äquivalent zu sein, weil dadurch die Hintereinanderausführung von
Symmetrieoperationen wohldefinierbar wird.
Def. 3.2: Symmetrieelemente
Symmetrieelemente sind geometrische Elemente (Unterräume des 3 dim.
Ortsraumes) wie Punkte, Geraden, Ebenen, bezüglich denen Symmetrieoperationen
ausgeführt werden.
Def. 3.3: Punktsymmetrien
Punktsymmetrien werden Symmetrieoperationen genannt, welche zumindest einen
Punkt des Raumes invariant lassen.
Bemerkung: Die Symmetrieelemente sind die Invarianten der zugehörigen
Punktsymmetrieoperationen.
Zur Beschreibung von Symmetrien in Molekülen werden die Punktsymmetrieoperationen
herangezogen, während zur Beschreibung von Festkörpern weitere Symmetrieoperationen
(Translationen im Raum und ihre Kombination mit Punktsymmetrieoperationen) betrachtet
werden müssen.
3.2 Punktsymmetriegruppen
Auftretende Punktsymmetrien sind in Tafel 3.1 beschrieben und die dafür verwendeten
Symbole angegeben (Schönflies, Hermann-Mauguin). Alle weiteren Punktsymmetrien
können aus diesen generiert werden.
Die Hintereinanderausführung von Symmetrieoperationen kann als Verknüpfung im
gruppentheoretischen Sinn definiert werden.
Def. 3.4: Verknüpfung von Symmetrieoperationen
Die Verknüpfung von Symmetrieoperationen wird als Hintereinanderausführung
definiert.
Tafel 3.1: Punktsymmetrien (Schönflies und Hermann-Mauguin Bezeichnungen)

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 33
Symmetrieelement /
Symbol
Ebene
Spiegelebene / σ, m
Punkt
Inversionszentrum / i, 1
Gerade
Drehachse
/ Cn, n n=2, 3, 4, ...
Gerade+Ebene
Drehspiegelachse
/ Sn, n/m n=2, 3, 4, ...
für n=4k auch n
n=2k (k ungerade) auch k
Satz 3.1: Symmetriegruppen
Operation / Symbol Beschreibung
Spiegelung an Ebene
/ σ, m
Inversion (Punktspiegelung)
/ i, 1
Drehung um Achse
/ Cn, n n=2, 3, ...
Drehung um Achse und
Spiegelung um Ebene normal zur
Achse. (Horizontale Spiegelebene
σh)
/ Sn, n/m n=2, 3, 4, ...
n , k
Eine Symmetrieebene
generiert genau eine
Symmetrieoperation.
σ 2 =E, ist zu sich selbst
invers.
Ein Symmetriezentrum
generiert genau eine
Symmetrieoperation.
i 2 =E, ist zu sich selbst
invers.
n bezeichnet die Zähligkeit
der Achse. Der Drehwinkel
ist 2π/n. Cn n = E. Generiert
n Operationen. Man schreibt
immer den niedrigsten
Term an: z.B. anstelle C6 3
schreibt man C2.
Inverses Element : (Cn m ) -1 =
Cn n-m .
Die unabhängige Existenz
von Drehung und
Spiegelung garantiert die
Zusammensetzung zu einer
Sn. Sie kann jedoch
existieren, ohne daß Cn und
σ unabhängig davon
existieren.
n=gerade: Sn m =Cn m (m
gerrade) Sn n =E.
S2m m = i (m
ungerade).
(Sn m ) -1 = Sn n-m .
n=ungerade: Cn und σ
existieren auch
getrennt:
Sn n =σ und Sn•σ =
Cn.
Sn 2n =E. Generiert
2n
Symmetrieoperation
en.
(Sn m ) -1 =Cn n-m (m
gerade)
(Sn m ) -1 =Sn 2n-m (m
unger.)

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 34
Die Symmetrieoperationen nach Def. 3.1, welche ein Objekt im Raum invariant
erscheinen lassen, bilden mit der Verknüpfung aus Def. 3.4 eine Gruppe. Die
Punktsymmetrieoperationen bilden eine endliche Gruppe, wenn sie mindestens
einen gemeinsamen Punkt im Raum invariant lassen.
Beweis: Der Beweis von Satz 3.1 braucht nicht in der üblichen mathematischen Strenge
durchgeführt werden. Vielmehr kann anschaulich klar gemacht werden, dass die
Gruppenaxiome mit Symmetrieoperationen nach Def. 3.1 und der Verknüpfung
nach Def. 3.4 erfüllt sind. Die Wohldefiniertheit der Verknüpfung (oder
Abgeschlossenheit) folgt aus der Transitivität der Eigenschaft ununterscheidbar.
Das assoziative Gesetz kann aus dem assoziativen Gesetz für allgemeine
Bewegungen (Rotationen, Spiegelungen, Translationen) im Raum (nur die
Reihenfolge ist wichtig) übernommen werden. Inverses und neutrales Element
haben zwangsläufig auch die Eigenschaft ununterscheidbare Objekte zu generieren
und existieren daher. Punktoperationen bilden nur dann endliche Gruppen, wenn sie
einen gemeinsamen invarianten Punkt im Raum besitzen, ansonsten gilt nicht mehr,
dass ein Symmetrieelement endlich oft hintereinander ausgeführt die Identität
ergibt. Bei Festkörpern wo auch Translationen (unendliche zyklische Gruppe)
hinzugenommen werden, gibt es mehrere Möglichkeiten für invariante Punkte bei
Punktsymmetrien, oder auch gar keine invarianten Punkte. Im mathematischen
Sinne können die Symmetrieoperationen durch orthogonale (unitäre) Matrizen
dargestellt werden. Demnach sind die Symmetrieoperationen eine Untergruppe der
Gruppe der orthogonalen (unitären) Matrizen. Da die inverse Symmetrieoperation
existiert, und die Symmetrieoperationen so zusammengefasst werden, dass
Abgeschlossenheit gewährleistet ist, ist die Gruppeneigenschaft gegeben.
Die Hintereinanderausführung von Symmetrieoperationen ist im allgemeinen nicht
kommutativ. Folgende Punktsymmetrieoperationen jedoch vertauschen miteinander:
1) Drehungen um die selbe Achse: Cn m •Cl k = Cnl lm+nk .
2) Spiegelung an Ebenen die senkrecht zueinander sind: σ1•σ2 = C2.
3) Inversion mit irgendeiner Drehung oder Spiegelung: 1 = i • Cn = Sn (n=4k);
1 = i•Cn = S2n (n=2k).
4) Zwei C2 Drehungen um Achsen senkrecht zueinander: C2(x)•C2(y) = C2(z).
5) Drehung und Spiegelung an Ebene senkrecht zur Drehachse: σh•Cn = Sn.
(Horizontale Spiegeleben σh)
Die Gruppen der endlichen Punktsymmetrien können als Untergruppen einer übergeordneten
großen Symmetriegruppe angesehen werden. Bezeichnungsweise, und Einteilung kann aus
Tafel 3.2, Tafel 3.3, Tafel 3.4 und Tafel 3.5 entnommen werden. Die Bezeichnung nach
Schönflies (ältere Bezeichnung, bei Molekülen auch heute üblich) orientiert sich dabei nach
dem Symmetrieelement mit höchster Symmetrie (Drehung vor Spiegelung, Drehspiegelung
und Inversion) und einer weiteren Klassifikation (falls notwendig) wie zusätzliche
Spiegelebenen oder weitere orthogonale Drehachsen, welche mit einem eigenen Buchstaben
(D) gekennzeichnet werden. Hochsymmetrische Gruppen werden mit eigenen Symbolen

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 35
belegt (z.B. T von Tetraeder, O von Oktaeder etc.). Die internationale Bezeichnungsweise
(Hermann-Mauguin) ist vorwiegend bei Festkörpern heute üblich und gibt die Generatoren
(erzeugende Elemente) der Gruppe an. Dies ist keineswegs eindeutig.
Tafel 3.2: Punktsymmetriegruppen allgemeiner Moleküle
C1, 1 E (Triviale Gruppe)
Cs, m σ,σ 2 =E (zyklische Gruppe der Ordnung 2)
Ci, 1 i,i 2 =E (Alle Gruppen 2.0rdnung sind isomorph !)
Cn, n Cn,......,Cn n =E (zyklische Gruppe mit n Elementen);
Spezialfall n=1 ergibt: C1
Sn, k (n=2k)
Sn, n (n=4k)
(n ungerade=Cnh)
Cnh, n/m (n
gerade)
2 n (n
ungerade)
Cnv, nmm
(n gerade, n≠2)
nm (n
ungerade)
Dn, n22 (n
gerade)
n2 (n
ungerade)
Dnh, n/mmm
(n gerade, n≠2)
n/mm (n
ungerade)
Dnd, 2n 2m
(n gerade)
n 2/m (n
ungerade)
E,Sn,Sn 2 =Cn/2,..,Sn n-1 (zyklische Gruppe mit n Elementen);
Spezialfall n=2 ergibt: Ci
Cn,σh, Sn
(abel'sche Gruppe aus 2n Elementen, die
Spiegelebene steht senkrecht zur Drehachse);
Spezialfall n=1 ergibt: Cs
Bei geradem n tritt ein Inversionszentrum auf.
Cn, n mal σv, (Gruppe mit 2n Elementen.) Die Spiegelebenen
beinhalten die Drehachsen und werden
Vertikalebenen genannt. Insgesamt erzeugt die
Drehung n verschiedene Vertikalebenen, wenn n
ungerade ist. Bei geradem n erzeugt Cn n/2
Vertikalebenen, aber zusätzliche treten noch n/2
weitere Spiegelebenen (Diagonalebenen) als
Winkelhalbierende auf (σd).
Cn, C2, ... (Gruppe mit 2n Elementen) Die C2 sind
senkrecht zur Cn. Insgesamt erzeugt bei
ungeradem n die n-zählige Drehung n C2, die mit
C2‘ benannt werden. Bei geradem n werden n/2
direkt durch die Drehung erzeugt (C2‘), aber
zusätzlich treten noch C2‘‘ als
Winkelhalbierende auf.
Cn, C2, Sn, σh,
n mal σv
Cn, C2, S2n, n mal σd
(Gruppe mit 4n Elementen) Die Gruppe besteht
aus einer Dn mit einer zusätzlichen σh, welche
die C2 ‘s enthält. Dies erzeugt weitere σv ‘s und
eine Sn. Bei geradem n tritt ein
Inversionszentrum auf.
(Gruppe mit 4n Elementen) Die Gruppe besteht
aus einer Dn mit zusätzlichen σd’s, welche die
Winkel zwischen den C2‘s halbiert. Zusätzlich
tritt noch eine S2n auf. Für ungerade n tritt eine
I i f

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 36
Inversion auf.
Um mit möglichst wenigen Generatoren auszukommen, werden Kombinationen aus
Symmetrieelementen mit eigenen Bezeichnungen belegt: n/m für n-zählige Drehung und
horizontale Spiegelebene, nm für n-zählige Drehung und vertikale Spiegelebene, n2 für nzählige
Drehung und senkrechte 2-zählige Drehung, n für Drehinversion (Drehung mit
Inversion). Für einige Gruppenbezeichnungen werden Abkürzungen anstelle des „Full
Symbol‘s“ benützt.
C3 v
D3 h
C4 v
D2 d
D3
D3 d
Abb. 3.2: Symmetrieelemente in einigen Symmetriegruppen
Zur besseren Veranschaulichung werden in Abb. 3.2 die verschiedenen Symmetrieelemente
für einige Punktsymmetriegruppen gezeigt.
D4

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 37
Lineare Moleküle besitzen keine endlichen Punktsymmetriegruppen sondern unendlich viele
Drehungen, Spiegelungen etc. und haben daher eigene Bezeichnungen.
Tafel 3.3: Punktsymmetriegruppen linearer Moleküle
D∞h, (∞/m) C∞, ∞ viele C2, σh, ∞ viele σv,
S∞,
Molekül besteht aus gleichen Hälften
(Inversionszentrum)
C∞v, (∞m) C∞, ∞ viele σv Molekül besteht aus ungleichen Hälften
Tafel 3.4: Punktsymmetriegruppen regulärer Polyeder und daraus abgeleitete Gruppen
T, 23
Tetraedergruppe
Td, 4 3m
Th, m3
Full Symbol:
⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟⎠ 3
⎝ m
O, 432
Tetraeder: 4 gleichseitige
Dreiecke
4 Ecken
6 Kanten
Oktaedergruppe
Oh, m3m
Würfel: 6 Quadrate
8 Ecken
Full Symbol:
12 Kanten
⎛ 4 ⎞ ⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟3⎜
⎟
⎝ m ⎠ ⎝ m ⎠
Oktaeder: 8 gleichseitige
Dreiecke
6 Ecken
12 Kanten
I, (532) Ikosaedergruppe

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 38
Ih, ( 5 3m
)
Dodekaeder: 12 gleichseitige
Fünfecke
20 Ecken
30 Kanten
Ikosaeder: 20 gleichseitige
Dreiecke
12 Ecken
30 Kanten
Die in den wichtigsten Punktsymmetriegruppen enthaltenen Symmetrieoperationen geordnet
nach Klassen konjugierter Elemente, als auch gebräuchlich Bezeichnungen (Schönflies,
international short Symbol, international Full Symbol) können der Tafel 3.5 entnommen
werden. (Angegeben ist: Bezeichnung Schönflies, bei den kristallographischen Gruppen auch
die Bezeichnungen nach Hermann-Mauguin (International) und das „Full Symbol“)
Tafel 3.5: Die wichtigsten Punktgruppen und ihre Klassen konjugierter Elemente:
C1 , 1 E
Cs, m E, σh
Ci, 1
E, i
C2, 2
C3, 3
E, C2
E, C3, C3 2
C4, 4 E, C4, C2, C4 3
C5
E, C5, C5 2 , C5 3 , C5 4
C6, 6 E, C6, C3, C2, C3 2 , C6 5
C7
E, C7, C7 2 , C7 3 , C7 4 , C7 5 , C7 6
C8
E, C8, C4, C2, C4 3 , C8 3 , C8 5 , C8 7
D2, 222 E, C2(z), C2(y), C2(x)
D3, 32
D4, 422
E, 2C3, 3C2
E, 2C4, C2(=C4 2 D5
), 2C2‘, 2C2‘‘
E, 2C5, 2C5 2 , 5C2
D6, 622 E, 2C6, 2C3, C2, 3C2‘, 3C2‘‘
C2v, 2mm E, C2, σv(xz), σv(yz)
C3v, 3m E, 2C3, 3σv
C4v, 4mm E, 2C4, C2, 2σv, 2σd
C5v E, 2C5, 2C5 2 , 5σv
C6v, 6mm E, 2C6, 2C3, C2, 3σv, 3σd
C2h, 2/m E, C2, i, σh
C3h, 6
E, C3, C3 2 , σh, S3, S3 5
C4h, 4/m E, C4, C2, C4 3 , i, S4 3 , σh, S4
C5h E, C5, C5 2 , C5 3 , C5 4 , σh, S5, S5 3 , S5 7 , S5 9
C6h, 6/m E, C6, C3, C2, C3 2 , C6 5 , i, S3 5 , S6 5 , σh, S6, S3
⎛ 2 ⎞⎛
2 ⎞⎛
2 ⎞
D2h, mmm, ⎜ ⎟⎜
⎟⎜
⎟
⎝ m ⎠⎝
m ⎠⎝
m ⎠
E, C2(z), C2(y), C2(x), i, σ(xy), σ(xz), σ(yz)
D3h, 6m2
E, 2C3, 3C2, σh, 2S3, 3σv
D4h, 4/mmm,
⎛ 4 ⎞⎛
2 ⎞⎛
2 ⎞
⎜ ⎟⎜
⎟⎜
⎟
⎝ m ⎠⎝
m ⎠⎝
m ⎠
E, 2C4, C2, 2C2‘, 2C2‘‘, i, 2S4, σh, 2σv, 2σd

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 39
D5h E, 2C5, 2C5 2 , 5C2, σh, 2S5, 2S5 3 , 5σv
D6h, 6/mmm,
⎛ 6 ⎞⎛
2 ⎞⎛
2 ⎞
⎜ ⎟⎜
⎟⎜
⎟
⎝ m ⎠⎝
m ⎠⎝
m ⎠
E, 2C6, 2C3, C2, 3C2‘, 3C2‘‘, i, 2S3, 2S6, σh, 3σv, 3σd
D8h E, 2C8, 2C4, C2, 2C8 3 , 4C2‘, 4C2‘‘, i, 2S8, 2S8 3 , 2S4, σh, 4σv, 4σd
4 E, 2S4, C2, 2C2‘,2σd
3
⎛ 2 ⎞
, 3 ⎜ ⎟
⎝ m ⎠
E, 2C3, 3C2, i, 2S6, 3σd
D2d, 2m
D3d, m
D4d E, 2S8, 2C4, 2S8 3 , C2, 4C2‘,4σd
D5d E, 2C5, 2C5 2 , 5C2, i, 2S10 3 S4, 4
, 2S10, 5σd
E, S4, C2, S4 3
S6, 3
E, C3, C3 2 , i, S6 5 S8
, S6
E, S8, C4, S8 3 , C2, S8 5 , C4 3 , S8 7
T, 23 E, 4C3, 4C3 2 , 3C2
⎛ 2 ⎞
Th, m3, ⎜ ⎟⎠ 3
⎝ m
E, 4C3, 4C3 2 , 3C2, i, 4S6, 4S6 5 , 3σh
Td, 4 3m
E, 8C3, 3C2, 6S4, 6σd
O, 432 E, 6C4, 3C2(= C4 2 ), 8C3, 6C2
⎛ 4 ⎞ ⎛ 2 ⎞
Oh, m3m, ⎜ ⎟3⎜
⎟
⎝ m ⎠ ⎝ m ⎠
E, 6C4, 3C2(= C4 2 ), 8C3, 6C2, i, 6S4, 8S6, 3σh, 6σd
I E, 12C5, 12C5 2 , 20C3, 15C2
Ih E, 12C5, 12C5 2 , 20C3, 15C2, i, 12S10, 12S10 3 , 20S6, 15σ
C∞v
E, 2C∞ Φ ......., ∞σv
D∞h
E, 2C∞ Φ ......., ∞σv, i, 2S∞ Φ ......., ∞C2
3.3 Bestimmung der Symmetriegruppe und Beispiele
Beispiele für Moleküle verschiedener Symmetrie wäre das CH4-Molekül, welches die H-
Atome in den Ecken eines Tetraeders angeordnet hat und das C-Atom im Schwerpunkt sitzt.
Damit hat dieses Molekül die Td-Symmetrie des Tetraeders. Wird dieser Tetraeder stark
verzerrt, wie dies z.B. beim FClSO-Molekül der Fall ist (Abb. 3.3), dann verschwinden bald
die Symmetrieelemente. FClSO hat keine Symmetrieelemente mehr und gehört daher zur C1-
Symmetriegruppe.

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 40
Abb. 3.3: FClSO-Molekül
Führt man eine nicht gar so drastische Reduktion der Symmetrie durch, indem man z.B. vom
Tetraeder nur an einer Ecke ein Atom austauscht (z.B. CH3Cl), so reduziert sich die
Symmetrie zu C3v. Verschiebt man nun die ausgetauschte Ecke in die Ebene der anderen
ununterscheidbaren Ecken so gelangt man zum AB3-Molekül, wie es in Abb. 3.4 dargestellt
ist. Dadurch, dass nun alle Atome in einer Ebene liegen, wurden zur C3-Achse senkrechte C2
und eine horizontale Spiegelebene generiert (Symmetrie des gleichseitigen Dreiecks).
Dadurch wurde die Symmetrie deutlich erhöht und die Symmetriegruppe ist D3h.
Abb. 3.4: Ebenes AB3-Molekül
Ein weiteres einfaches Molekül, bei dem die Symmetriegruppe leicht zu erkennen ist, ist das
Wassermolekül H2O. Es besitzt offenbar eine 2-zählige Achse, welche durch den Sauerstoff
hindurchgeht, keine horizontale Spiegelebene, aber eine leicht erkennbare vertikale
Spiegelebene, welche die beiden H-Atome ineinander überführt. Die Molekülebene selbst ist
ebenfalls Symmetrieebene und die Punktgruppe ist somit C2v.
Nicht bei allen Molekülen ist die Punktgruppe so leicht erkennbar, deshalb ist es nützlich sich
eine systematische Vorgangsweise zurechtzulegen. Eine Möglichkeit ist ein Vorgehen nach
Abb. 3.5.

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 41
Abb. 3.5: Schema zur Bestimmung der Punktgruppe bei Molekülen
Es wird in 5 Schritten vorgegangen:
1. Bestimme ob das Molekül zu einer der Spezialgruppen gehört.
Die linearen Moleküle mit den Gruppen D∞h und C∞v bereiten mit Hilfe von Tafel
3.3.2b keine Schwierigkeiten. Ebenso sind die kubischen Gruppen (verlangen 4 C3)
und die Ikosaedergruppen ( verlangen 10 C3 und 5 C5) mit Hilfe von Tafel 3.3.2c
und den darin enthaltenen Figuren leicht zu erkennen.
2. Suche nach einer Dreh- oder Drehspiegelachse. Findet man keine, so liegen die
Sonderfälle von nur Spiegelebene (Cs), nur Inversionszentrum (Ci, sehr selten) oder
gar keine Symmetrie (C1) vor.
3. Reine geradzahlige Drehspiegelachse. (keine Symmetrieebene oder Drehachse
außer einer kolinearen.) Dies liefert die Gruppen Sn (n gerade). Diese Gruppen
besitzen außerdem noch Cn/2 Achsen.

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 42
4. Suche nach der Drehachse höchster Ordnung. Möglich sind auch drei C2-Achsen,
wobei man, wenn vorhanden jene nimmt, die eine ausgezeichnete Lage einnimmt
(z.B. Molekülachse). Existiert ein Satz von n C2-Achsen senkrecht zur Cn so geht
man zu Schritt 5. Ansonsten gehört das Molekül zu einer der Gruppen Cn, Cnv, Cnh.
Kein Symmetrieelement außer der Cn: ⇒ Cn
n vertikale Spiegelebenen: ⇒ Cnv
eine horizontale Spiegelebene: ⇒ Cnh
5. Dieser letzte Schritt liefert die Gruppen Dn, Dnh und Dnd.
Kein Symmetrieelement außer der Cn und den C2‘s: ⇒ Dn
eine horizontale Spiegelebene: ⇒ Dnh
(außerdem besitzt eine Dnh Gruppe noch n vertikale Spiegelebenen, welche die
senkrechten C2‘s beinhalten)
keine horizontale Spiegelebene,
aber n vertikale Ebenen, zwischen den C2-Achsen: ⇒ Dnd
Mit Hilfe dieser Prozedur lassen sich auch kompliziertere Moleküle leicht zu einer
Symmetriegruppe zuordnen. Als Beispiel nehmen wir das Ferrocene, welches in 2
verschiedenen Konfigurationen vorkommen kann, wie sie in Abb. 3.6 gezeigt sind.
Abb. 3.6: Ferrocene
Einmal sind die 5-Ecke unverdreht übereinander angeordnet (dies führt zu einer horizontalen
Spiegelebene), das andere mal sind sie verdreht, bzw. spiegelbildlich übereinander gestapelt.
Letzteres vernichtet die reine Existenz einer Spiegelebene, sie kommt nur mehr in
Kombination mit einer 10-zähligen Achse vor. Wenn man nach der obigen Prozedur aus Abb.
3.5 vorgeht, so kann man die ersten 3 Schritte überspringen. Für beide Modifikationen findet
man eine 5-zählige Achse als höchste Symmetrie und weitere senkrechte 2-zählige Achsen.
Während jedoch die Modifikation mit den unverdreht übereinander gestapelten 5-Ecken eine
horizontale Spiegelebene besitzt und somit zu D5h gehört, liegen bei der anderen Modifikation
nur vertikale Spiegelebenen vor, woraus die Symmetriegruppe D5d folgt. Eine Überprüfung
der Zuordnung kann mit Hilfe der detaillierten Auflistung der Symmetrieelemente der Tafel
3.5 erfolgen. Demnach muss die D5d auch eine S10 und ein Inversionszentrum besitzen,
welche in D5h nicht vorhanden sind.

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 43
4. Mathematische Darstellung von Symmetriebeziehungen
4.1 Zusammenhang Physik- Mathematik
Bemerkung: Die physikalischen Beobachtungen (Ergebnisse von Experimenten)
charakterisieren einen physikalischen Zustand. Dieser wird mathematisch als
Zustandsvektor, somit als Element eines Vektorraumes dargestellt. Änderungen des
Zustandes sind somit Operatoren, die auf die Elemente des Vektorraumes wirken.
Die in Experimenten gefundenen Kausalitäten und Zusammenhänge müssen sich in
mathematischen Zusammenhängen zwischen den Operatoren und Zustandsvektoren
widerspiegeln. Ziel ist eine möglichst genaue Abbildung (im Sinne eines
Isomorphismus) der physikalischen Beobachtungen und Ereignisse in Operatoren
und Vektoren. Jeder mathematische Schritt sollte daher seine entsprechende
physikalische Bedeutung haben. (Wird jedoch nicht vollständig erreicht.) Im Fall
von Symmetrieoperationen betrachten wir Operatoren, welche auf physikalische
Zustandsvektoren wirken und in ihrer Wirkung genau die Symmetrieoperation
nachbilden. (z.B. Drehmatrizen auf Vektor des 3-dimensionalen Raumes)
Def. 4.1: linearer Operator
linearer Operator σ auf Vektorraum V: σ:= Abbildung V → V; σA=B mit A,B ∈ V
a) σ(A+B) = σA + σB
b) σ(aA) = a(σA), mit a ∈ R (Körper des Vektorraumes)
Def. 4.2: Verknüpfungen von linearen Operatoren:
a) (σ1 + σ2)A = σ1A + σ2A b) (aσ) A = a (σA)
c) (σ1 * σ2)A = σ1(σ2A) d) Nulloperator: οA = Ο
e) Einsoperator: εA = A
wenn σR injektiv, so heißt er regulärer Operator. Es existiert σR -1,
(σR,*) bildet eine Gruppe
Bemerkung: Symmetrieoperationen sind reguläre Operatoren auf V und bilden mit den hier
definierten Verknüpfungen eine Gruppenalgebra.
Def. 4.3: G-Vektorraum:
V (Vektorraum) heißt zusammen mit G (Gruppe) G-Vektorraum, wenn:
1. alle σ aus G lineare Operatoren auf V sind:
a) σA aus V ist (σ aus G und A aus V)
b) σ(A+B) = σA + σB
c) σ(aA) = a(σA)
2. (στ)A = σ(τA)
3. εA = A mit ε dem Einselement aus G

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 44
Bemerkung: Beispiele für lineare Operatoren, welche auf einen n-dimensionalen
Vektorraum wirken, sind die n × n Matrizen. Reguläre Operatoren sind dabei die
invertierbaren Matrizen. Alle invertierbaren Matrizen mit Determinante ±1 heißen
orthogonale Matrizen.
Def. 4.4: Darstellung
Der mathematische Ausdruck für die Symmetrieoperationen der Symmetriegruppe
eines Moleküls oder Festkörpers bezüglich der gewählten Basis des Vektorraumes
der betrachteten Eigenschaften (Zustand des Moleküls oder Festkörpers) heißt
Darstellung der Symmetrieoperationen oder der Symmetriegruppe.
oder:
Die Darstellung einer Symmetriegruppe ist ein Homomorphismus der
Symmetriegruppe auf die linearen Operatoren des G-Vektorraumes. (z.B. Matrizen)
Bemerkung: Folgende Vorgangsweise bei Symmetrieanalysen physikalischer Probleme ist
einzuhalten:
1. Zunächst muss das physikalische Problem genau definiert werden: Was ist der
Zustand (Grundzustand) des Problems und welche Zustandsgröße des
Grundzustandes ist für die interessierende physikalische Größe verantwortlich.
2. Bestimme den Vektorraum, in dem die Zustandsgröße liegt und wähle eine
Basis.
3. Bestimme die mathematische Form der Symmetrieoperatoren (Darstellung),
welche auf die gewählte Basis des Vektorraumes wirken.
4.2 Symmetrien und Eigenschaften des Grundzustandes
Satz 4.1: Satz von Neumann - Minnigerode und P. Curie
a) Die beobachtbaren Eigenschaften (Observablen) des Grundzustandes sind
invariant gegenüber Symmetrieoperationen.
oder
b) Die Symmetriegruppe eines Objektes (Molekül, Festkörper) ist eine Untergruppe
der Symmetriegruppe jeder beobachtbaren Eigenschaft des Objektes.
Beweis: In seiner ersten Form a) ist der Beweis trivial, da ja bereits in Def. 3.1
festgelegt wurde, dass Symmetrieoperationen das Objekt ununterscheidbar (also
keine Änderung in seinen beobachtbaren Eigenschaften) lassen müssen. Da die
Bestimmung der Symmetriegruppe im allgemeinen im Grundzustand des Objektes
erfolgt, wurde Satz 4.1 auf die Eigenschaften des Grundzustandes eingeschränkt. In
der zweiten Formulierung b) ist lediglich zu zeigen, dass dies der Formulierung a)
entspricht. Dazu betrachten wir eine beliebige Eigenschaft (z.B. das Dipolmoment)
im homogenen, isotropen Raum. Alle Symmetrieeigenschaften, welche die
betrachtete Eigenschaft (Dipolmoment) invariant lassen, bilden eine Gruppe (z.B.
C∞v für das Dipolmoment). Soll nun ein Objekt im homogenen, isotropen Raum
diese Eigenschaft besitzen, so dürfen nur Symmetrieoperationen auftreten, welche
auch diese betrachtete Eigenschaft invariant lässt. Also sind die
Symmetrieoperationen des Objektes auf jeden Fall eine Teilmenge der

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 45
Symmetrieoperationen der Eigenschaft. Da aus Satz 3.1 die Symmetrieoperationen,
die ein Objekt ununterscheidbar lassen eine Gruppe bilden, erhalten wir eine
Teilmenge aus der Symmetriegruppe der beobachtbaren Eigenschaft, welche eine
Gruppe bildet, also eine Untergruppe.
Bemerkung: Es ist auch sofort klar, dass im allgemeinen die Symmetriegruppe des Objektes
viel kleiner als die Symmetriegruppe einer beobachteten Eigenschaft ist, also eine
echte Untergruppe vorliegt.
Def. 4.5: polarer Vektor
Ein Vektor p, der sich bei Punktsymmetrieoperationen σ transformiert wie:
σ(p) = Mσp, (Mσ Matrixdarstellung von σ) heißt polarer Vektor.
Def. 4.6: axialer Vektor
Ein Vektor a, der sich bei Punktsymmetrieoperationen σ transformiert wie:
σ(a) = Det(Mσ) Mσa, (Mσ Matrixdarstellung von σ) heißt axialer Vektor.
Def. 4.7: eigentliche, uneigentliche Drehungen
Punktsymmetrieoperationen mit Det(Mσ) = +1 heißen eigentliche Drehungen
(proper rotations), die mit -1 uneigentliche Drehungen (improper rotations).
Bemerkung: Matrizen der Darstellung von Punktsymmetrieoperationen sind orthogonale bzw.
unitäre Matrizen. Eine weitere Konsequenz aus Satz 4.1 ist, dass auch die
Schrödingergleichung (Wellenfunktion, Hamiltonfunktion) eines Moleküls oder
Festkörpers invariant gegenüber allen Symmetrieoperationen sein muss. Ist σˆ ein
Symmetrieoperator, welcher auf die Wellenfunktion wirkt, dann lautet die durch
die Symmetrieoperation transformierte Schrödingergleichung: σ ˆ −1
ˆH
ˆ σ ˆ σψ
= E ˆ σψ
.
Die Invarianz des Hamiltonoperators schreibt sich dann: Hˆ
−1
ˆ σ ˆ σ = Hˆ
oder
ˆ σH ˆ = Hˆ
ˆ σ . Damit gilt für den Hamiltonoperator, dass er mit allen
Symmetrieoperationen vertauschbar ist, also [ H ˆ , ˆ σ ] = 0 . Daraus folgt unmittelbar
das Noether-Theorem (Satz 1.1) in der Form, dass es zu jeder Symmetrieoperation
eine Erhaltungsgröße geben muss. Es bleibt nur noch die Frage, ob jede
Symmetrieoperation zu eigenen Erhaltungsgrößen führt, also genauso viele
verschiedene Erhaltungsgrößen vorliegen, wie unterschiedliche
Symmetrieelemente. Hier kann man sich überlegen, dass sämtliche
Hintereinanderausführungen einer Symmetrieoperation zur gleichen
Erhaltungsgröße führen. Demnach gibt es dann nur so viele verschiedene
Erhaltungsgrößen, wie erzeugende Elemente in der Gruppe. Bei unendlichen
Gruppen mit kontinuierlichen Transformationen (Symmetrien) sind dann dies die
kontinuierlichen Variablen (Parameter ρ), wie sie im Noether-Theorem formuliert
sind.

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 46
4.3 Charaktere von Matrixdarstellungen, reduzible und irreduzible Darstellungen,
Charaktertafeln
Def. 4.8: Charakter
Die Spur einer Matrix einer Darstellung heißt Charakter.
Def. 4.9: reduzible Darstellung
Wenn ein Satz von Darstellungsmatrizen durch geeignete Wahl der Basis
gleichzeitig in gleiche Untermatrizen zerlegbar ist, dann heißt die Darstellung
reduzibel.
Def. 4.10: irreduzible Darstellung
Wenn ein Satz von Darstellungsmatrizen nicht mehr durch andere Wahl der Basis
in Untermatrizen zerlegbar ist, dann heißt die Darstellung irreduzibel.
Satz 4.2: reduzible Darstellungen
Jede reduzible Darstellung (Matrixdarstellung) lässt sich als Summe von
irreduziblen Darstellungen schreiben. Der dazugehörende (reduzible) Vektorraum
lässt sich als direkte Summe von (irreduziblen, G-invarianten) Teilräumen
schreiben.
Beweis: Da sich die reduzible Darstellung von den irreduziblen Darstellungen nur durch
eine Koordinatentransformation der Basis unterscheiden, lässt sich der Satz durch
die Eigenschaft der Basis beweisen.
Def. 4.11: G-invarianter Teilraum
U ist G-invarianter Teilraum von V wenn gilt:
U ist G-Vektorraum und Unterraum von V
σA ∈ U wenn σ ∈ G und A ∈ U
Satz 4.3: Charaktere reduzibler Darstellungen
Die Charaktere jeder Darstellung sind Linearkombinationen der Charaktere der
irreduziblen Darstellungen. ∀ σ ∈ G: χΓ(σ) = ∑iciχi(σ).
Beweis: Aus Satz 4.2 folgt der Beweis direkt durch Spurbildung.
Satz 4.4: Orthogonalitätsrelation:
Für irreduzible Darstellungsmatrizen in endlichen Gruppen gilt:
Σ σ(G) Di(σ)ab [Dj(σ)cd]-1 = g/li δij δad δbc

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 47
Bemerkung: Zum Beweis der Orthogonalitätsrelation werden noch folgende zwei Sätze
benötigt.
Satz 4.5: Lemma von Schur
Jede Matrix, die mit den Matrizen der irreduziblen Darstellungen vertauschbar ist,
muss ein Vielfaches der Einheitsmatrix sein.
Satz 4.6: Existenz der inversen Hilfsmatrix
D1(σi) und D2(σi) sind irreduzible Darstellungen der Dimension l1 und l2. Mit M
aus der Menge der komplexen Matrizen der Dimension l1 ∗ l2 und der Eigenschaft:
M D1(σi) = D2(σi) M
folgt:
a) l1 ungleich l2 heißt: M = 0
b) l1=l2 heißt: M = 0 oder M-1 existiert.
Bemerkung: Aus der Orthogonalitätsrelation (Satz 4.4) folgt direkt die Orthogonalität der
Charaktere durch Spurbildung.
Satz 4.7: Orthogonalität der Charaktere
1/g Σσ(G) χi(σ)χj(σ-1) = δij
Bemerkung: Die Orthogonalität der irreduziblen Darstellungen ist von zentraler Bedeutung in
der Gruppentheorie. Insbesondere hilft sie in der Auffindung der einzelnen
irreduziblen Darstellungen. Wie später gezeigt wird, entspricht die Orthogonalität
der irreduziblen Darstellungen der Orthogonalität der Idempotenten des Zentrums
der Gruppenalgebra. Da dieses Zentrum die Dimension der Anzahl an Klassen
konjugierter Elemente hat, kann es nie mehr irreduzible Darstellungen geben als
Klassen konjugierter Elemente. Zusammen mit der Orthogonalitätsrelation stellt
dies ein stark einschränkendes Kriterium für die irreduziblen Darstellungen dar,
wodurch ihre Auffindung stark vereinfacht wird. Für zyklische Gruppen haben die
irreduziblen Darstellungen bezogen auf den Körper der komplexen Zahlen eine
einfache Gestalt. Die m-te irreduzible Darstellung (m = 0, 1, ... N-1) für das
Element a n (n = 0,1, ... N-1) lautet: e imn2π/N . Die Charaktere der irreduziblen
Darstellungen sind in den Charaktertafeln (Abschnitt 10.1) tabelliert. Außerdem ist
es für die praktische Anwendung hilfreich zu wissen, wie die irreduziblen
Darstellungen zu den irreduziblen Darstellungen der jeweiligen Untergruppen
korreliert sind (Korrelationstafeln in 10.2).

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 48
Satz 4.8: goldene Regel
Wie oft eine irreduzible Darstellung in einer reduziblen enthalten ist ergibt sich
aus:
cj = 1/g Σσ(G) χΓ(σ) χj(σ-1)
Satz 4.9: Dimension G-invarianter Unterräume
Die Dimension des G-invarianten Unterraumes ergibt sich zu:
dim(Uj) = cj * lj
Def. 4.12: Produkt von Darstellungen
χσ(Γi × Γj) = χσ(Γi) * χσ(Γj)
Def. 4.13: Linearer Operator auf Tensorprodukt
σ(V1 ⊗ V2) mit X aus V1: X = ΣaiAi und Y aus V2: Y = ΣbjBj
mit Z aus V1 ⊗ V2 : Z = Σaibj (Ai ⊗ Bj)
σ(V1 ⊗ V2) = σ Σaibj(Ai ⊗ Bj) = Σaibj(σ Ai ⊗ σ Bj)
Bemerkung: Die Größen Ai ⊗ Bj werden auch Dyaden genannt. Jeder Tensor lässt sich somit
als Linearkombination von Dyaden schreiben.
Satz 4.10: Charaktere von Operatoren auf Tensorprodukten
Spur σ(V1 ⊗ V2) = Spur σ(V1) * Spur σ(V2) oder
1,2 1 2
χσ(V1 ⊗ V2) = χσ(V1) * χσ(V2) oder χσ = χσ * χσ Dies führt gleich zu einer weiteren wichtigen Beziehung:
Satz 4.11: Darstellung von direkten Produkten zweier Gruppen
Die Darstellung einer Gruppe G= G1 ⊗ G2, welche aus einem direktem Produkt
zweier Untergruppen gebildet wurde, ergibt sich als das Produkt der Darstellungen
der jeweiligen Untergruppen. Also: χab(Γno) = χa(Γn) * χb(Γo) mit a ∈ G1, b ∈
G2 und (Γn) Darstellung von G1 und (Γo) Darstellung von G2. Werden auf diese
Art verschiedene Darstellungen aus Sätzen von jeweils orthogonalen Darstellungen
der jeweiligen Untergruppen gebildet, so sind die Charaktere dieser gewonnenen
Darstellungen ebenfalls orthogonal.
Bemerkung: Insbesondere folgt daraus für eindimensionale Darstellungen, dass auf diese Art
für Gruppen, die aus einem direkten Produkt von Untergruppen gebildet wurden, die
irreduziblen Darstellungen als Multiplikation der irreduziblen Darstellungen der
jeweiligen Untergruppen gebildet werden.

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 49
Bemerkung: Das Produkt von irreduziblen Darstellungen ist im allgemeinen nicht
kommutativ. Auch das Tensorprodukt ist nicht kommutativ, außer es handelt sich um
einen symmetrischen Tensor. Bei eindimensionalen irreduziblen Darstellungen
liegen symmetrische und antisymmetrische Tensorkomponente in der gleichen
irreduziblen Darstellung. Bei mehrdimensionalen irreduziblen Darstellungen ist dies
im allgemeinen nicht gegeben und man muss das symmetrische und das
antisymmetrische Tensorprodukt unterscheiden.
Def. 4.14: Symmetrisches und antisymmetrisches Tensorprodukt
χsymm (σ) = 1/2[χ (σ) 2 + χ (σ 2 )]
χanti (σ) = 1/2[χ (σ) 2 - χ (σ 2 )]
Bemerkung: Mithilfe des Tensorproduktes lassen sich viele höhere Tensorgrößen sehr leicht
in irreduzible Darstellungen zerlegen. So ist z.B. der dieelektrische Tensor mit dem
Tensorprodukt aus der dielektrischen Verschiebung D und dem elektrischen Feld E
zu bilden. In Abschnitt 10.3 sind die wichtigsten Produkte irreduzibler
Darstellungen in bereits ausreduzierter Form aufgelistet und auch die
symmetrischen und antisymmetrischen Anteile angegeben.
4.4 Auffinden G-invarianter Unterräume
Def. 4.15: Zentrum der Gruppenalgebra
besteht aus jenen Elementen, die mit allen
Elementen der Gruppenalgebra kommutieren (vgl. Def. 2.11):
Das Zentrum Z ~
Z ~
:= { z ~
| ∋ z ~
∗ a ~
= a ~
∗ z ~
Def. 4.16: Klassensumme
der Gruppenalgebra G ~
∀ z ~
∈ G ~
Die Klassensumme K ~
Elementen.
K ~
= Σi ai mit ai,aj ∈ G und ∃ b ∈ G ∋ ai b = b aj.
}
besteht aus der Summe der zueinander konjugierten
Bemerkung: Dies bedeutet sofort, dass es nur so viele verschiedene Klassensummen K ~
wie Klassen konjugierter Elemente in G.
Satz 4.12: Basis des Zentrums
Die Klassensummen K ~
s bilden eine Basis von Z ~
Bemerkung zur Erinnerung (Def. 2.20): π ∈ G ~
π ∗ π = π2 = π ( ⇒ πn = π)
.
heißt Idempotente, wenn gilt:
s gibt,

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 50
Def. 4.17: Orthogonalität in Gruppenalgebra
Zwei Elemente der Gruppenalgebra a ~
,b ~
∈ G ~
0 ~
. (Nullelement der Gruppenalgebra)
Satz 4.13: Orthogonale Idempotente sind linear unabhängig.
Sind π1 ..... πk orthogonal (d.h. πiπj = πiδij) dann gilt: i
sind orthogonal, wenn gilt: a ~
k
∑
= 1
ciπi ≠ 0 ~
Satz 4.14: Die Summe orthogonaler Idempotenter ist wieder eine Idempotente:
Für π = Σiπi gilt π 2 = π.
Im weiteren werden orthogonale Idempotente πi des Zentrums Z ~
betrachtet. Aus Satz 4.13 folgt, dass nicht mehr orthogonale Idempotente in Z ~
Klassen konjugierter Elemente in G existieren.
Satz 4.15: maximale Systeme von Idempotenten des Zentrums
.
∗ b ~
=
der Gruppenalgebra
liegen als
Sei S = { π1,.....πk} maximales System von orthogonalen Idempotenten in Z ~
gilt:
k
1) ∑ πi = ε
i=
1
~
(Einselement von G ~
)
2) jedes πi ist unzerlegbar, d.h. πi ≠ πr + πs (irreduzibel)
3) ist π eine Idempotente aus Z ~
l
∑
i = 1
π = πi
4) S ist eindeutig
, so ist
mit l = 1,2, .. k (Auswahl aus S)
Satz 4.16: Projektion von Vektoren
Für jeden Vektor X ∈ V mit πiX = X und πi ∈ S gilt:
1) alle X ∈ Ui < V, bilden einem Unterraum von V
2) Ui ist G-invariant
3) Ui besteht aus allen πiX mit X ∈ V
4) Ist B1, ....... Bn Basis von V, so erzeugt πiB1, ...πiBn den
Unterraum Ui.
Satz 4.17: Zerlegung eines Vektorraumes in Unterräume
. Dann
Jeder Vektor X des G-Vektorraumes (V,G) lässt sich eindeutig als direkte Summe
von Vektoren Xi der G-invarianten Unterräume
Ui = πiV (πi ∈ S) darstellen. V = ⊕ Ui.

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 51
Bemerkung: Die Unterräume Ui = πiV sind irreduzibel, weil die πi irreduzibel (Satz 4.15)
sind. Damit können die Unterräume den irreduziblen Darstellungen der
Symmetriegruppe G zugeordnet werden, da die irreduziblen Darstellungen eindeutig
vorliegen.
Satz 4.18: Lösung von Eigenwertgleichungen durch Zerlegen
Für den G-Vektorraum V = ⊕ Ui mit Ui = πiV (πi ∈ S) und den auf V definierten
linearen Operator A mit [σ,A] = 0 für alle σ ∈ G gilt:
1) A ist linearer Operator auf Ui
2) Die Lösung der Eigenwertgleichung in allen Ui ist Lösung in V
3) Es gibt ein System linear unabhängiger Eigenvektoren von A, jeder in einem
Unterraum Ui, aus denen durch Linearkombination weitere Eigenvektoren
gebildet werden können.
Satz 4.19: entartete Eigenwerte
Eigenwerte, die einer r-dimensionalen irreduziblen Darstellung entsprechen sind
mindestens r-fach entartet.
Satz 4.20: Beziehung zwischen maximalem System orthogonaler Idempotenten und
irreduziblen Darstellungen
Das maximale System orthogonaler Idempotenten des Zentrums der
Gruppenalgebra S = { πi} erhält man aus den Charakteren der irreduziblen
Darstellungen:
πi = li/g Σσ χi(σ -1 )σ
Der Projektionsoperator Pi kl bezogen auf die Basis B1, ... Br des G-invarianten
Unterraumes Ui wird mit Hilfe der Darstellungsmatrizen γi kl der i-ten irreduziblen
Darstellung gebildet:
Pi kl = li/g Σσ γi kl (σ -1 )σ

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 52
5. Beispiele: Anwendungen bei Molekülen
5.1 Schwingungsanalyse von H2O

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 53

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 54
5.2 Klassifizierung elektronischer Niveaus mit Hilfe der Hückel-Methode

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 55
5.3 Behandlung mehrdimensionaler irreduzibler Darstellungen an Hand von D3

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 56
5.4 Schwingungsanalyse von CHCl3

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 57

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 58

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 59

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 60
5.5 Symmetriebedingte Auswahlregeln für elektronische und vibronische Übergänge

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 61
6. Translationssymmetrien und Raumgruppen
6.1 Die Translationsgruppe
Def. 6.1: Translationen
Translationen Tnt(r) (oder als Gruppenelement t n ) werden als Addition eines
ganzzahligen Vielfachen des Translationsvektors t zum Ortsvektor r definiert:
Tnt(r) := r + nt
Periodische Randbedingungen liegen vor, wenn für N Vielfache gilt: r + Nt = r
(oder als Gruppenelement t N = 1)
Satz 6.1: Translationsgruppe
Die Translationen im 3-dimensionalen Raum mit periodischen Randbedingungen,
a H =1, b K =1, c L =1 bilden eine Gruppe, die sich als direktes Produkt aus den
jeweiligen eindimensionalen zyklischen Translationsgruppen ergibt. Die mno-te
irreduzible Darstellung für das Gruppenelement a h b k c l lautet: e i2π(mh/H+nk/K+ol/L) .
v r r v
Beweis: Eine allgemeine Translation im 3-dimensionalen Raum lautet: t = ha
+ kb
+ lc
oder als Gruppenelement geschrieben: t=a h b k c l . Die erzeugenden Elemente der
Gruppe sind a,b,c. Daraus ergeben sich 3 zyklische Untergruppen: Ga={a h },
Gb={b k }, Gc={c l }. Da diese zyklischen Untergruppen nur das neutrale Element
gemeinsam haben gilt nach Def. 2.21, dass die Translationsgruppe als direktes
Produkt dieser drei zyklischen Gruppen geschrieben werden kann. Nach Satz 4.11
erhalte ich orthogonale Darstellungen als Produkt der irreduziblen Darstellungen
dieser drei Untergruppen. Da es sich um eindimensionale Darstellungen handelt,
hat man bereits einen maximalen Satz orthogonaler Darstellungen gefunden,
welcher nicht weiter reduzibel ist.
Bemerkung: Analoge Beziehungen gelten im d-dimensionalen Raum. Davon sind die
Dimensionen d=1,2,3 von praktischer Bedeutung.
6.2 wichtige Begriffe:
Bemerkung: Die folgenden Definitionen beziehen sich auf den Spezialfall von 3 Dimensionen
können aber auf den d-dimensionalen Fall verallgemeinert werden.
Def. 6.2: Translationsgitter
Das Translationsgitter ist die regelmäßige Anordnung von Punkten Rhkl im Raum
die von Translationsvektoren a, b, c gebildet werden:
Rhkl = R0 + ha +kb +lc
Def. 6.3: Bravaisgitter

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 62
Im 3-dimensionalen Raum gibt es insgesamt 14 verschiedene Translationsgitter,
welche zu einem gleichmäßigen raumfüllenden Gitter führen. Diese werden
Bravaisgitter genannt.
Tafel 6.1: Die 14 Bravaisgitter
Def. 6.4: Kristallgitter
Das Kristallgitter besteht aus dem Translationsgitter, wobei jeder Punkt des
Translationsgitters mit einer Anordnung aus mehreren Atomen (Basis) besetzt sein
kann.
Def. 6.5: Primitive Einheitszelle

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 63
Kleinste Einheit (kleinstes Volumen) des Kristallgitters aus dem durch
Translationen das gesamte Gitter erzeugt werden kann. (Primitive Einheitszelle
besteht nur aus einem Punkt des Translationsgitters, beinhaltet die Atome der
Basis).
Def. 6.6: reziprokes Gitter
Das reziproke Gitter G wird aus ganzzahligen Vielfachen der reziproken
Gittervektoren A, B, C gebildet:
A = (2π/V) (b × c), B = (2π/V) (c × a), C = (2π/V) (a × b)
mit V = a (b × c) dem Volumen der primitiven Einheitszelle.
Sämtliche Punkte im reziproken Raum Kmno werden gebildet:
Kmno = mh + nk + ol = (m/H) A + (n/K) B + (o/L) C
mit h = A/H, k = B/K und l = C/L.
Der Bereich 0≤m

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 64
Bemerkung: Diese Formulierung des Blochtheorems gilt nur im komplexen Zahlenraum. Oft
ist aber nur der reelle Raum von physikalischer Bedeutung. Den Übergang zu einer
reellen Formulierung erhält man, wenn man die irreduziblen Darstellungen im
reellen aufsucht. Diese sind dann 2-dimensional und fassen jeweils die komplexen
irreduziblen Darstellungen von +k und -k zusammen, die ja zueinander konjugiert
komplex sind. Im reellen kann dann nicht mehr so einfach ein Bloch'sches Theorem
postuliert werden. Betrachtet man +k und -k zu einem 2-dimensionalen Vektor
zusammengefasst, so ergeben sich 2-dimensionale Darstellungen für die
Translation:
r
⎛ ψ r ( r ) ⎞ ⎛
= ⎜
e
Tv
k
⎜
⎟
t r
⎜
⎝ψ
r ( r ) − k ⎠ ⎝
rr
ikt
e
rr
−ikt
r r r
⎞⎛
ψ r ( r ) ⎞ ⎛ ψ r ( r + t ) ⎞
k ⎟
k
= ⎜ ⎟
⎜
⎟
⎟
r ⎜ r r
⎟
.
⎠⎝ψ
r ( r ) ⎠ ⎝ψ
r ( r + t )
−k
−k
⎠
r r
ψ r ( r ) +ψ r ( r ) −k
Wir gehen mit Hilfe von neuen Koordinaten
reelle Darstellung über:
k
2
⎛
Tv
⎜
t ⎜
⎝
r r
ψ r ( r ) + ψ r ( r )
k −k
r
2
r
ψ r ( r ) −ψ
r ( r )
−k
k
2
r
⎞
r
⎟
⎛ cos kt
= ⎜
⎟ ⎜
rr
⎠ ⎝−
sin kt
rr
− sin kt
⎞⎛
rr
⎟⎜
cos kt
⎟
⎠
⎜
⎝
r r
ψ r ( r ) + ψ r ( r )
k −k
r
2
r
ψ r ( r ) −ψ
r ( r )
−k
k
2
⎞ ⎛
⎟ = ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
r r
ψ r ( r ) −ψ
r ( r )
k k und 2
r r r r
ψ r ( r + t ) + ψ r ( r + t )
k
−k
2
r r r r
ψ r ( r + t ) −ψ
r ( r + t )
−k
k
2
− auf eine
Der Charakter dieser 2-dimensionalen Darstellung ist k r r
2 cos . Bei allgemeinem k r
ist dies bereits die irreduzible Darstellung im reellen Raum. Aus dieser Darstellung
erhält man die reellen Beziehungen:
rr
rr
( cos kt
kt
)
r rr
rr
r ( r)
( cos kt
kt
)
r r r
ψ r ( r + t ) = ψ r ( r ) + sin , bzw.
k
k
r r
ψ r ( t ) = ψ
− sin .
−k
r + −k
Die analoge Beziehung im komplexen Zahlenraum lautet:
rr
rr
( cos kt
i kt
)
r r r
ψ r ( + t ) = ψ r ( r ) + sin .
k
r k
In Analogie zum Bloch'schen Theorem versuchen wir den Ansatz:
rr
rr
( Acos
kr
B kr
)
r r
ψ r ( r)
= ϕ(
r)
+ sin .
k
Daraus erhält man:
r r
ψ r ( r + t )
k
r r
= ϕ(
r + t )
r r rr
rr
rr
rr
= ϕ(
r + t ) ( Acos(
kr
+ kt
) + B sin( kr
+ kt
) ) =
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
( Acos(
kr
) cos( kt
) − Asin(
kr
) sin( kt
) + B sin( kr
) cos( kt
) + B cos( kr
) sin( kt
) )
Dies muss das Gleiche ergeben wie:
r
ψ
r ( + k
r
= ϕ(
r )
r r rr
rr
r rr
rr
rr
rr
t ) = ψ r ( r ) ( cos kt
+ sin kt
) = ϕ(
r ) ( Acos
kr
+ B sin kr
)( cos kt
+ sin kt
)
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
( Acos
kr
cos kt
+ B sin kr
sin kt
+ B sin kr
cos kt
+ Acos
kr
sin kt
)
r k
⎞
⎟ .
⎟
⎠
=

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 65
r r r
Wie man sieht, erhält man hier unter der Annahme, dass ϕ ( r + t ) = ϕ(
r)
keine
Lösungen da gleichzeitig A = B und A = −B
sein müssen, was nur für A = B = 0
r
erfüllt sein kann. Dies ist jedoch nicht für eine allgemeine Funktion ψ r ( r)
≠ 0
k
möglich. Anders ist jedoch die Situation im komplexen Zahlenraum:
r
ψ r ( + k
r
= ϕ(
r)
r r rr
rr
r rr
rr
rr
rr
t ) = ψ r ( r)
( cosk
t + i sin kt
) = ϕ(
r)
( Acoskr
+ B sin kr
)( cosk
t + i sin kt
)
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
( Acos
kr
cos kt
+ iB sin kr
sin kt
+ B sin kr
cosk
t + iAcoskr
sin kt
)
r k
r r r
Hier erhält man unter der Bedingung dass ϕ ( r + t ) = ϕ(
r)
die Beziehungen iA = B
und A = −iB
, welche komplexe Lösungen besitzen, z.B. A = 1 und B = i wie es
dem Blochtheorem entspricht.
6.3 Die Raumgruppen
Def. 6.7: Raumgruppe
Die Raumgruppe R = {G|T} ist die Kombination aus Translationsgruppe T und
dazupassender Punktgruppe G.
Def. 6.8: Seitz-Operator
Ein Element der Raumgruppe ist definiert als {σ|t} (Seitz-Operator) mit σ∈G und
t∈T und wirkt auf einen Ortsvektor r: {σ|t}r := σr+t. Die Verknüpfung von
Raumgruppenelementen ist definiert zu: {σ|t}•{σ’|t’}r := σσ’r + σt’ + t :=
{σσ’|σt’+t}r
Satz 6.3: Raumgruppe
Die Elemente zusammen mit der Verknüpfung, beide definiert in Def. 6.8, bilden
eine Gruppe (Raumgruppe). Für ein regelmäßiges raumfüllendes Gitter sind jedoch
nicht alle Punktgruppen mit Translationssymmetrien verträglich. Insbesondere sind
nur Punktgruppen mit 2,3,4 und 6 zähligen Drehungen möglich.
Bemerkung: Dies führt dazu, dass Oh zusammen mit der hexagonalen Gruppe D6h, die oberste
Punktgruppe mit allen mit der Translationssymmetrie verträglichen
Punktsymmetrieoperationen ist. Von Oh zusammen mit D6h gibt es insgesamt 32
verschiedene Untergruppen. In Kombination mit den 14 Bravaisgittern (nicht alle
Kombinationen sind möglich) ergibt dies die 230 Raumgruppen. Es gibt aber auch
sogenannte Quasi-Kristalle die z.B. 5 zählige Symmetrie und sowohl Fern- als auch
Nah-Ordnung aufweisen. Bei diesen Systemen ist die Bedingung der raumfüllenden
(also lückenlosen) Anordnung verletzt.
Bemerkung: Die Kombination von Punktsymmetrieoperationen mit Translationen führt zu
neuen Symmetrieelementen, den Gleitspiegelungen (Gleitspiegelebenen) und den
Schraubdrehungen (Schraubenachsen). Einige der 230 Raumgruppen beinhalten
solche kombinierte Symmetrieoperationen in nicht trivialer Weise, d.h. manche
Punktsymmetrieoperationen kommen nur in Verbindung mit Translationen vor.
=

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 66
Def. 6.9: symmorphe und nicht-symmorphe Raumgruppen
Raumgruppen, die von Elementen der Gestalt {ε|t} und {σ|0} erzeugt werden heißen
symmorph. Raumgruppen, welche nicht triviale Kombinationen {σ|t} zur
Generierung benötigen, heißen nicht-symmorph.
Def. 6.10: Kristallklassen
Die 32 möglichen Untergruppen von Oh und D6h werden Kristallklassen genannt.
Def. 6.11: Kristallsysteme
Die Kombinationen von den 32 Kristallklassen mit den 14 Bravaisgittern aus Def.
6.3 lassen sich in 7 Systemen zusammenfassen. Diese Systeme heißen
Kristallsysteme.
Bemerkung: Die 7 Kristallsysteme stellen die Verbindung dar zwischen den
Punktsymmetrieoperationen und den damit verträglichen Translationsgittern. So sind
im kubischen Kristallsystem immer 4 verschiedene 3 zählige Drehungen vorhanden
(entsprechend der 4 Raumdiagonalen) und es kann immer ein Translationsgitter
gefunden werden (nicht unbedingt eines das unmittelbar zur primitiven Einheitszelle
führt), welches von rechtwinkeligen Translationsvektoren gleicher Größe gebildet
wird. Genauso ergibt sich eine Einschränkung der Punktsymmetrien

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 67
Tafel 6.2: Die 32 Kristallklassen

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 68
Tafel 6.3: Die 7 Kristallsysteme

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 69
triklin
Tafel 6.4: Die 230 Raumgruppen
monoklin

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 70
orthorhombisch

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 71

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 72
tetragonal

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 73

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 74
trigonal

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 75
hexagonal

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 76
kubisch

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 77
7. Faktorgruppenanalyse und Multiplikatorengruppe
Satz 7.1: Faktorgruppe
Die Elemente {ε|t} der Raumgruppe (Translationsgruppe) bilden einen
Normalteiler T. Die dazugehörende Faktorgruppe R/T ist isomorph zur
Punktgruppe G, welche aus allen σ der Raumgruppenelemente {σ|t} gebildet wird.
Bemerkung: Dieser Satz ermöglicht es uns, viele symmetriebedingte Zusammenhänge in
Festkörpern auf recht einfache Art auszuwerten, ohne durch die ‘fast unendlich’
große Translationsgruppe beeinträchtigt zu sein. Durch Betrachten der
Faktorgruppe verliert man zwar mit der Translationssymmetrie bedingte
Zusammenhänge, dafür aber ist die Auswertung der restlichen Symmetrien genauso
einfach wie bei Molekülen. Aus dem Noether-Theorem (Satz 1.1) kann die
Konsequenz der Translationssymmetrie abgeschätzt werden. Im kontinuierlichen
Raum ist die Translation eine kontinuierliche Transformation und die damit
verbundene Erhaltungsgröße ist die Impulserhaltung. Im Festkörper ist die
Translation nicht mehr kontinuierlich, sondern diskret mit Vielfachen eines
Gittervektors. Dies führt dazu, dass die Impulserhaltung nicht mehr genauso wie
im kontinuierlichen Raum gegeben ist, sondern immer ein beliebiges Vielfaches
eines reziproken Gittervektors hinzukommen kann. Man spricht daher von einer
quasi-Impulserhaltung. Die Anregungen im Festkörper haben daher Energie und
einen quasi-Impuls, sind daher quasi-Teilchen.
Bemerkung: Mit Hilfe der Faktorgruppe lässt sich ein Festkörper wie ein Molekül
behandeln. Insbesondere ist die Schwingungsanalyse in analoger Form
durchführbar. Als weitere Vereinfachung empfiehlt sich die Analyse nach
Lagesymmetrien der Atome (Wyckofflagen) durchzuführen. Die Lagesymmetrien
müssen Untergruppen der Faktorgruppe (Punktgruppe) sein. Es kann daher die
Translation für jedes Atom einzeln in den Lagesymmetriegruppen durchgeführt
werden und dann mit Hilfe der Korrelationstabellen auf die Punktsymmetrie
übertragen werden. (Inspektionsmethode der Faktorgruppenanalyse). Zur einfachen
praktischen Durchführung sind in Abschnitt 10.4 alle Wykofflagen der 230
Raumgruppen angegeben. Zusätzliche sind für die Translationen (Abschnitt 10.5)
und die Rotationen (Abschnitt 10.6) bereits die Korrelationen der entsprechenden
irreduziblen Darstellungen durchgerechnet und angeführt. Unter Beachtung der oft
nicht in Normallage (höchste Symmetrie in Richtung z) vorliegenden Untergruppen
können auch die einzelnen Basisvektoren (x,y,z der Translationen bzw. Rotationen)
in die Korrelation mit einbezogen werden, wodurch man bereits eine recht gute
Einschränkung der zugehörigen Symmetriekoordinaten erhält. Diese Analyse muss
man nicht nur nach Lagesymmetrien der einzelnen Atome durchführen, sondern
man kann den Kristall aus beliebigen Atomgruppen, welche auf bestimmten
Lagesymmetrien im Kristallgitter liegen zusammensetzen und so eine
Symmetrieanalyse durchführen. Man erhält dann z.B. die inneren und äußeren
Schwingungen von Molekülkristallen und deren Librationen (Drehschwingungen
der Moleküle). Diese Analyse kann auch auf Moleküle, welche in verschiedene
Atomgruppen aufgeteilt werden, durchgeführt werden.

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 78
8. Beispiele: Anwendungen auf Festkörper
8.1 Schwingungsanalyse nach Lagesymmetrie des Hochtemperatursupraleiters YBa2Cu3O7
bzw. YBa2Cu3O6.

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 79

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 80

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 81

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 82
9. Magnetische Raumgruppen, Doppelgruppen, Antisymmetrien,
Zeitumkehr

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 83
10.1 Charaktertafeln
10. wichtige Tabellen

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 84

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 85

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 86

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 87

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 88

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 89

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 90

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 91

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 92

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 93

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 94
10.2 Korrelationstafeln

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 95

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 96

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 97

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 98
10.3 Produkte von irreduziblen Darstellungen

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 99

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 100
10.4 Lagesymmetrien (Wykofflagen) in den 230 Raumgruppen

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 101

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 102

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 103

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 104

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 105

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 106
10.5 Irreduzible Darstellungen von Translationen für die verschiedenen Wykofflagen

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 107

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 108

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 109

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 110

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 111
10.6 Irreduzible Darstellungen von Rotationen für die verschiedenen Wykofflagen

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 112

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 113

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 114

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 115

11. Übungen
1. Beweisen Sie:
In der Multiplikationstafel einer Gruppe kommt jedes Element in jeder Spalte und jeder
Zeile genau einmal vor.
2. Gegeben ist folgende Multiplikationstafel einer Gruppe:
E A B C D F
E E A B C D F
A A B E F C D
B B E A D F C
C C D F E A B
D D F C B E A
F F C D A B E
Dabei ist in der ersten Spalte das Element, das von links multipliziert wird und in der
ersten Zeile jenes, welches von rechts multipliziert wird.
Überprüfen Sie:
a) Ist die Gruppe abelsch?
b) Ist die Gruppe zyklisch?
c) Welche Untergruppen gibt es?
d) Welche Elemente bilden Klassen konjugierter Elemente?
e) Welche Untergruppen sind Normalteiler?
3. Warum bilden die Elemente mit der folgenden Multiplikationstafel keine Gruppe?
E A B C D F
E E A B C D F
A A B E D F C
B B E A F C D
C C D F A E B
D D F C B A E
F F C D E B A
4. Zeigen Sie, dass die Menge mit den Symmetrieelementen E, C2[001], i und σh[001] eine
Gruppe bildet bezüglich der Hintereinanderausführung. Stellen Sie die
Multiplikationstafel auf.
5. Gegeben sei eine Gruppe G die zur Gruppe G´ homomorph ist. Zeige, dass es einen
Normalteiler von G gibt, dessen Faktorgruppe zum Bild des Homomorphismuses in G´
isomorph ist. (Satz 2.10)
6. Zeigen Sie: Eine Gruppe, deren Ordnung eine Primzahl ist, muss zyklisch sein.

7. Finden Sie die Normalteiler der Permutationsgruppe S3.
8. Beweisen Sie Satz 2.8:
f: G → G' ist Homomorphismus zwischen den Gruppen G und G'.
Es gilt:
a) f(ε) = ε'
b) ∀a ∈ G gilt: f(a-1) = f(a)-1
9. Beweisen Sie Satz 2.9: Die Eigenschaft von Gruppen zueinander isomorph zu sein ist
eine Äquivalenzrelation, d.h.:
a) idG: G → G ist Isomorphismus (Identität)
b) f: G → G' ist Isomorphismus:
dann ist auch f-1: G' → G ein Isomorphismus
c) f: G → G' und f': G' → G'' sind Isomorphismen:
dann ist auch f' * f ein Isomorphismus
10. Bestimmen Sie die Punktsymmetriegruppen der folgenden Moleküle:
a) CH4
b) NH3
c) ebenes AB3-Molekül
d) Allene: C3H4
Welche Symmetrieoperationen sind in den jeweiligen Gruppen?
Welche Klassen äquivalenter Elemente existieren?
Welche Gruppen sind kommutativ, welche zyklisch?
11. Geben Sie für die Punktgruppe D3 jeweils eine Darstellung für das elektrische und das
magnetische Moment an. Haben Sie dabei bereits die Darstellung für die Temperatur
gefunden?
Kann ein Molekül mit D3-Symmetrie ein elektrisches Dipolmoment besitzen oder ein
magnetisches Moment aufweisen?
12. Welche Schwingungstypen klassifiziert nach irreduziblen Darstellungen sind in H20
möglich? Nach welchen irreduziblen Darstellungen transformieren sich die reinen
Translationen und Rotationen des Moleküls? Geben Sie eine Basis für die G-invarianten
Unterräume der Molekülschwingung an.
13. Geben Sie eine Symmetrieanalyse der Schwingungen der Moleküle aus Beispiel 10 an.
(Methan, Amoniak, ebenes AB3 Molekül und Allene) Wie viele Schwingungen sind
dabei IR-aktiv, wie viele Raman-aktiv? In welchen Polarisationsrichtungen sind welche
Schwingungen beobachtbar.
14. Geben Sie die Auswahlregeln für den Hyperramaneffekt der Moleküle aus Beispiel 10
an.

15. Symmetriebetrachtungen zum Jahn-Teller Effekt. (Energieerniedrigung durch
Aufhebung von Entartung). Die 5 3d Orbitale von Kupfer sind im Atom entartet. Nun
wird Cu in einen Kristall auf einen Gitterplatz mit Td Symmetrie eingebaut. Welche der
d-Orbitale bleiben entartet, welche spalten auf? Cu liegt als 2 + vor. Wieso kann durch
Symmetrieerniedrigung von Td auf D4h Energie gewonnen werden? Was bringt eine
weitere Symmetrieerniedrigung auf D2h?
16. Wie schaut der Eigenschaftstensor für die Piezoelektrizität aus? In welchen
Punktgruppen ist Piezoelektrizität möglich. Welche Komponenten des piezoelektrischen
Tensors können bei den Molekülen aus Beispiel 10 von Null verschieden sein?
17. Geben Sie den Eigenschaftstensor für Magnetowiderstand und Halleffekt an. Welche
Komponenten sind in den kubischen Gruppen (klassische Halbleiter) möglich?
18. Welche Symmetrieaussagen können Sie zur optischen Aktivität (Drehung der
Polarisationsebene) machen?

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 119
12. Verzeichnis der Abbildungen
Abb. 1.1: Sandgemälde der Regenbogenkultur der Navajo Indianer........................................7
Abb. 1.2: aztekische Weltkarte .................................................................................................8
Abb. 1.3: Scricakra (indische Kabbalistik) ...............................................................................9
Abb. 1.4: chinesische Naturphilosophie (Buch der Wandlungen)..........................................10
Abb. 1.5: “Ars magna“ von Raimundus Lullus, Spätmittelalter...........................................11
Abb. 1.6: Fu-Hsi-Ordnung (Wen-Ordnung) ...........................................................................11
Abb. 1.7: Verschiedene Ornamente mit Isometrie..................................................................12
Abb. 1.8: Homöometrie...........................................................................................................13
Abb. 1.9. Yin-Yang-Symbol ...................................................................................................14
Abb. 1.10: Farbsymmetrie der Fische (Escher).......................................................................15
Abb. 1.11: Darstellung des menschlichen Körpers nach dem goldenen Schnitt. ...................16
Abb. 1.12: Darstellung der Aphrodite mit Abweichungen der Proportionen vom goldenen
Schnitt..............................................................................................................................17
Abb. 1.13: Symmetriebrechung in der Duplizierung der DNS (Mutationen).........................18
Abb. 1.14: Verschiedene Beispiele aus „stark“ symmetrischen Formen in der Natur (sind aber
im mathematischen Sinn asymmetrisch).........................................................................18
Abb. 1.15: Die 5 platonischen Körper (Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Ikosaeder, Dodekaeder)
.........................................................................................................................................19
Abb. 1.16: Das Fulleren C60....................................................................................................20
Abb. 1.17: Das Keplermodell..................................................................................................20
Abb. 3.1: Unterschied zwischen identisch und äquivalent (ununterscheidbar). ....................31
Abb. 3.2: Symmetrieelemente in einigen Symmetriegruppen ................................................36
Abb. 3.3: FClSO-Molekül.......................................................................................................40
Abb. 3.4: Ebenes AB3-Molekül...............................................................................................40
Abb. 3.5: Schema zur Bestimmung der Punktgruppe bei Molekülen.....................................41
Abb. 3.6: Ferrocene.................................................................................................................42
13. Verzeichnis der Tafeln
Tafel 3.1: Punktsymmetrien (Schönflies und Hermann-Mauguin Bezeichnungen) ...............32
Tafel 3.2: Punktsymmetriegruppen allgemeiner Moleküle.....................................................35
Tafel 3.3: Punktsymmetriegruppen linearer Moleküle ...........................................................37
Tafel 3.4: Punktsymmetriegruppen regulärer Polyeder und daraus abgeleitete Gruppen ......37
Tafel 3.5: Die wichtigsten Punktgruppen und ihre Klassen konjugierter Elemente:..............38
Tafel 6.1: Die 14 Bravaisgitter................................................................................................62
Tafel 6.2: Die 32 Kristallklassen.............................................................................................67
Tafel 6.3: Die 7 Kristallsysteme..............................................................................................68
Tafel 6.4: Die 230 Raumgruppen............................................................................................69
14. Verzeichnis der Definitionen
Def. 1.1: Isometrie...................................................................................................................12
Def. 1.2: Homöometrie............................................................................................................12
Def. 1.3: Antisymmetrie..........................................................................................................13

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 120
Def. 1.4: Farbsymmetrie..........................................................................................................14
Def. 1.5: Asymmetrie ..............................................................................................................16
Def. 2.1: Elemente...................................................................................................................22
Def. 2.2: Menge.......................................................................................................................22
Def. 2.3: Teilmenge.................................................................................................................22
Def. 2.4: Verknüpfung ............................................................................................................22
Def. 2.5: Gruppe......................................................................................................................22
Def. 2.6: Untergruppe..............................................................................................................23
Def. 2.7: Ordnung....................................................................................................................24
Def. 2.8: Klasseneinteilung .....................................................................................................24
Def. 2.9: abelsche Gruppen.....................................................................................................24
Def. 2.10: kommutative Elemente...........................................................................................24
Def. 2.11: Zentrum..................................................................................................................25
Def. 2.12: konjugierte Elemente .............................................................................................25
Def. 2.13: Nebenklassen..........................................................................................................25
Def. 2.14: Normalteiler ...........................................................................................................25
Def. 2.15: Faktorgruppe ..........................................................................................................25
Def. 2.16: Vektorraum (Tensorraum) .....................................................................................26
Def. 2.17: Unterraum ..............................................................................................................26
Def. 2.18: Inneres Produkt ......................................................................................................27
Def. 2.19: Gruppenalgebra......................................................................................................27
Def. 2.20: Idempotenz.............................................................................................................27
Def. 2.21: Direktes Produkt ⊗, Tensorprodukt.......................................................................27
Def. 2.22: Abbildung...............................................................................................................28
Def. 2.23: Äquivalenzrelation .................................................................................................28
Def. 2.24: Homomorphismus ..................................................................................................29
Def. 2.25: injektiv, Monomorphismus ....................................................................................29
Def. 2.26: surjektiv, Epimorphismus ......................................................................................29
Def. 2.27: bijektiv, Isomorphismus.........................................................................................29
Def. 2.28: Kern eines Homomorphismus................................................................................30
Def. 3.1: Symmetrieoperationen .............................................................................................31
Def. 3.2: Symmetrieelemente..................................................................................................32
Def. 3.3: Punktsymmetrien......................................................................................................32
Def. 3.4: Verknüpfung von Symmetrieoperationen................................................................32
Def. 4.1: linearer Operator ......................................................................................................43
Def. 4.2: Verknüpfungen von linearen Operatoren:................................................................43
Def. 4.3: G-Vektorraum: .........................................................................................................43
Def. 4.4: Darstellung ...............................................................................................................44
Def. 4.5: polarer Vektor ..........................................................................................................45
Def. 4.6: axialer Vektor...........................................................................................................45
Def. 4.7: eigentliche, uneigentliche Drehungen......................................................................45
Def. 4.8: Charakter..................................................................................................................46
Def. 4.9: reduzible Darstellung ...............................................................................................46
Def. 4.10: irreduzible Darstellung...........................................................................................46
Def. 4.11: G-invarianter Teilraum...........................................................................................46
Def. 4.12: Produkt von Darstellungen.....................................................................................48
Def. 4.13: Linearer Operator auf Tensorprodukt ....................................................................48
Def. 4.14: Symmetrisches und antisymmetrisches Tensorprodukt.........................................49
Def. 4.15: Zentrum der Gruppenalgebra .................................................................................49
Def. 4.16: Klassensumme........................................................................................................49
Def. 4.17: Orthogonalität in Gruppenalgebra .........................................................................50

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 121
Def. 6.1: Translationen............................................................................................................61
Def. 6.2: Translationsgitter .....................................................................................................61
Def. 6.3: Bravaisgitter .............................................................................................................61
Def. 6.4: Kristallgitter .............................................................................................................62
Def. 6.5: Primitive Einheitszelle .............................................................................................62
Def. 6.6: reziprokes Gitter.......................................................................................................63
Def. 6.7: Raumgruppe .............................................................................................................65
Def. 6.8: Seitz-Operator ..........................................................................................................65
Def. 6.9: symmorphe und nicht-symmorphe Raumgruppen ...................................................66
Def. 6.10: Kristallklassen........................................................................................................66
Def. 6.11: Kristallsysteme.......................................................................................................66
15. Verzeichnis der Sätze
Satz 1.1: Noether-Theorem .....................................................................................................21
Satz 2.1: Satz von Lagrange....................................................................................................24
Satz 2.2: über das Zentrum......................................................................................................25
Satz 2.3: Faktorgruppe ............................................................................................................25
Satz 2.4: über direkte Produkte ...............................................................................................27
Satz 2.5: Existenz von Äquivalenzrelationen..........................................................................28
Satz 2.6: Klassen konjugierter Elemente ................................................................................28
Satz 2.7: Verknüpfung von Homomorphismen.......................................................................29
Satz 2.8: Eigenschaften des Homomorphismus ......................................................................29
Satz 2.9: Eigenschaften von Isomorphismen ..........................................................................29
Satz 2.10: weitere Eigenschaften eines Homomorphismus ....................................................30
Satz 3.1: Symmetriegruppen ...................................................................................................33
Satz 4.1: Satz von Neumann - Minnigerode und P. Curie ......................................................44
Satz 4.2: reduzible Darstellungen ...........................................................................................46
Satz 4.3: Charaktere reduzibler Darstellungen.......................................................................46
Satz 4.4: Orthogonalitätsrelation:............................................................................................46
Satz 4.5: Lemma von Schur ....................................................................................................47
Satz 4.6: Existenz der inversen Hilfsmatrix............................................................................47
Satz 4.7: Orthogonalität der Charaktere..................................................................................47
Satz 4.8: goldene Regel...........................................................................................................48
Satz 4.9: Dimension G-invarianter Unterräume......................................................................48
Satz 4.10: Charaktere von Operatoren auf Tensorprodukten..................................................48
Satz 4.11: Darstellung von direkten Produkten zweier Gruppen............................................48
Satz 4.12: Basis des Zentrums.................................................................................................49
Satz 4.13: Orthogonale Idempotente sind linear unabhängig. ................................................50
Satz 4.14: Die Summe orthogonaler Idempotenter ist wieder eine Idempotente:...................50
Satz 4.15: maximale Systeme von Idempotenten des Zentrums.............................................50
Satz 4.16: Projektion von Vektoren ........................................................................................50
Satz 4.17: Zerlegung eines Vektorraumes in Unterräume ......................................................50
Satz 4.18: Lösung von Eigenwertgleichungen durch Zerlegen ..............................................51
Satz 4.19: entartete Eigenwerte...............................................................................................51
Satz 4.20: Beziehung zwischen maximalem System orthogonaler Idempotenten und
irreduziblen Darstellungen..............................................................................................51
Satz 6.1: Translationsgruppe...................................................................................................61
Satz 6.2: Blochtheorem ...........................................................................................................63

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 122
Satz 6.3: Raumgruppe .............................................................................................................65
Satz 7.1: Faktorgruppe ............................................................................................................77