Raman - KFU

P. Knoll, Vorlesung: Raman- und Infrarot- ........ 2std. SS 2004 Seite 50
Diese Lösungen entsprechen den exakten Resultaten des Radialanteils der
Schrödingergleichung für kugelförmige Orbitale (s-Orbitale). In dieser einfachen Herleitung
würden die jetzt noch kreisförmigen Bahnen steigendes Bahndrehmoment mit dem
Bahnradius aufweisen. Tatsächlich ist jedoch der Bahndrehimpuls Null für alle kugelförmigen
Orbitale (s-Orbitale). Hier muss man noch über alle möglichen kreisförmigen Bahnen mit
gleichem Radius mitteln (statistische Aussage der Quantenmechanik), wodurch kugelförmige
Orbitale entstehen und der Bahndrehimpuls sich wegmittelt. Durch diese zusätzliche
statistische Mittelung kann man nicht mehr von kreisenden Teilchen sprechen sondern mehr
von einer kugelförmigen Wahrscheinlichkeitsverteilung. In ähnlicher Weise lassen sich
Ergebnisse für andere Bahnformen mit endlichem Bahndrehimpuls (Nebenquantenzahlen)
erhalten, wenn man postuliert, daß der Bahndrehimpuls nur in Vielfachen von h vorkommt
(p,d,f,...). Die magnetischen Quantenzustände erhält man, wenn man bezüglich einer
Vorzugsrichtung ebenfalls die Quantisierung in Vielfachen von h für die Projektion des
Bahndrehimpulses fordert. Dies ergibt z.B. für einen 2p Zustand die magnetischen Zustände
mit m=-1, m=0, und m=1.
Der ausgearbeitete mathematische Formalismus der Quantenmechanik
(Schrödingerformalismus, Heisenbergformalismus) liefert automatisch all diese Ergebnisse.
Weiters sind nur ganz bestimmte Kombinationen von Haupt- und Nebenquantenzahlen
möglich. Es gibt nur die Kombinationen: 1s0, 2s0, 2p-1, 2p0, 2p1, 3s0, 3p-1, 3p0, 3p1, 3d-2, 3d-1,
3d0, 3d1, 3d2, ...etc.
Atome mit mehreren Elektronen lassen sich näherungsweise mit den
Energiezuständen des H-Atoms beschreiben. Dabei wird berücksichtigt, dass für die
außenliegenden Elektronen nur eine abgeschirmte Kernladungszahl wirkt, und die Auffüllung
der Orbitale mit den Spin-behafteten Elektronen dem Pauliprinzip und den Hund’schen
Regeln erfolgt. (Erst eine genauere relativistische quantenmechanische Betrachtung würde
den Spin berücksichtigen).
Pauliprinzip:
Die Gesamtwellenfunktion ist bei Vertauschung von 2 Teilchen antisymmetrisch:.
Ψ( 12 ,,... ) =−Ψ(
21 ,,... )
Oder einfacher für die Atomphysik: 2 Elektronen müssen sich mindestens in einer
Quantenzahl unterscheiden.
Hund’sche Regeln: Auffüllung der Orbitale einer Schale erfolgt nach Pauliprinzip und
hierarchisch nach:
1.) Gesamtspin möglichst groß.
2.) Die Summe der Projektionen der Bahndrehimpulse ist maximal.
3.) Der Gesamtdrehimpuls J=L-S für weniger als halbgefüllte Schalen, J=L+S für mehr als
halbgefüllte Schalen.
2.4.2 Moleküle
Mehrere Atome können zu Molekülen aneinander gebunden (chemische Bindung) sein. Dabei
wirken anziehende Coulomb-Kräfte zwischen den Elektronen und den Atomkernen und
abstoßende zwischen den Elektronen und zwischen den Atomkernen.
Allgemeines Prinzip: Zwei in Wechselwirkung stehende Energieniveaus spalten auf. (z.B. 2
gekoppelte Pendel) Dies bedeutet, dass 2 H Atome im unendlich weiten Abstand (keine
Wechselwirkung) zweifach entartete Energiezustände haben. (z.B. ist die Energie des 1s