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P. Knoll, Vorlesung: <strong>Raman</strong>- und Infrarot- ........ 2std. SS 2004 Seite 42 Bei den Charaktertafeln sind zunächst als Spaltenüberschriften die jeweiligen Symmetrieoperationen, zusammengefasst nach Klassen konjugierter Elemente, angegeben. Die einzelnen Zeilen beinhalten die sogenannten irreduziblen Darstellungen. Diese enthalten für jede Symmetrieoperation Zahlen (reell oder komplex) bzw. Matrizen (mehrdimensionale irreduzible Darstellungen) welche angeben, um welchen Faktor die entsprechende physikalische Größe bei Durchführung der Symmetrieoperation zu multiplizieren ist. Bei mehrdimensionalen irreduziblen Darstellungen werden anstelle der Matrizen meist nur deren Spuren angegeben, welche Charaktere genannt werden. Daraus leitet sich die Bezeichnung Charaktertafeln ab. Die Charaktere (Spuren) von Darstellungen sind für alle Symmetrieoperationen einer Klasse konjugierter Elemente gleich, weshalb in den Charaktertafeln nicht alle Symmetrieoperationen sondern nur die verschiedenen Klassen konjugierter Elemente angegeben sind. Außerdem gibt es nur so viele verschiedene irreduzible Darstellungen wie Klassen konjugierter Elemente. Diese verschiedenen irreduziblen Darstellungen werden mit Buchstaben und Indizes charakterisiert. Dabei wird der Buchstabe A für irreduzible Darstellungen vergeben, bei denen das
P. Knoll, Vorlesung: <strong>Raman</strong>- und Infrarot- ........ 2std. SS 2004 Seite 43 Hauptsymmetrieelement, welches die Bezeichnung der Symmetriegruppe bestimmt (Schönflies) erhalten bleibt, also invariant ist (z.B. +1 bei eindimensionalen irreduziblen Darstellungen). Ist dieses nicht erhalten, so wird der Buchstabe B vergeben, solange die irreduzible Darstellung eindimensional ist. Bei mehrdimensionalen Darstellungen wird E (2 Dimensionen), F (3 Dimensionen), G (4 Dimensionen) und H (5 Dimensionen) vergeben. Eine wichtige Eigenschaft dieser irreduziblen Darstellungen ist, dass sie zueinander orthogonal sind. Für die Charaktere lautet diese Orthogonalität: Satz 2.3: Orthogonalität der Charaktere 1/g Σσ(G) χi(σ)χj(σ-1) = δij Dabei bedeutet g die Ordnung der Gruppen (Anzahl an Symmetrieoperationen) und i und j bezeichnet jeweils eine irreduzible Darstellung (Zeile in der Charaktertafel). Zu beachten ist auch, dass die Summe über alle Symmetrieoperationen σ zu bilden ist, und nicht nur über die Klassen konjugierter Elemente die in den Charaktertafeln angegeben sind. Die Orthogonalität der irreduziblen Darstellungen ist von zentraler Bedeutung in der Gruppentheorie. Insbesondere hilft sie in der Auffindung der einzelnen irreduziblen Darstellungen. Zusammen mit der Tatsache, dass es nicht mehr verschiedene irreduzible Darstellungen als Klassen konjugierter Elemente gibt, stellt die Orthogonalitätsrelation ein stark einschränkendes Kriterium für die irreduziblen Darstellungen dar, wodurch ihre Auffindung stark vereinfacht wird. Für zyklische Gruppen (werden durch Hintereinanderausführung einer einzelnen Symmetrieoperation generiert, z.B. die Translationen in Festkörpern) haben die irreduziblen Darstellungen bezogen auf den Körper der komplexen Zahlen eine einfache Gestalt. Die m-te irreduzible Darstellung (m = 0, 1, ... N-1) für das Element a n (n = 0,1, ... N-1) lautet: e imn2π/N . Eine weitere wichtige Tatsache ist, dass nun die Darstellung der Symmetrieoperationen für jede beliebige physikalische Eigenschaft (beliebige Tensorgröße) als Summe aus den irreduziblen Darstellungen aufgebaut werden kann. Dies heißt zum Beispiel, dass auch die Schwingungen eines Moleküls nach den irreduziblen Darstellungen klassifiziert werden können, bzw. dass jeder beliebige Auslenkungsvektor für die Atompositionen sich aus den verschiedenen irreduziblen Darstellungen zusammensetzt. Das bedeutet, dass der Charakter χ einer beliebigen Darstellung Γ für jede Symmetrieoperatione σ sich als Linearkombination aus den Charakteren der irreduziblen Darstellungen schreiben lässt: χΓ(σ)=Σj cjχj(σ). Mit Hilfe der Orthogolnalitätsrelationen von Satz 2.3 kann man recht einfach die Anteile der einzelnen irreduziblen Darstellungen ausrechnen: Satz 2.4: goldene Regel Wie oft eine irreduzible Darstellung in einer reduziblen enthalten ist ergibt sich aus: cj = 1/g Σσ(G) χΓ(σ) χj(σ-1) Wie mit diesen Beziehungen einfach gearbeitet werden kann, soll am Beispiel von Schwingungen einfacher Moleküle gezeigt werden.
Seite 1 und 2: P. Knoll, Vorlesung: Raman- und Inf
Seite 41: P. Knoll, Vorlesung: Raman- und Inf

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