Raman - KFU

P. Knoll, Vorlesung: Raman- und Infrarot-Spektroskopie, 2std. SS 2004 Seite 20
Gerade+Ebene
Drehspiegelachse
/ Sn, n/m n=2, 3, 4, ...
für n=4k auch n
n=2k (k ungerade) auch k
Satz 2.1: Symmetriegruppen
Drehung um Achse und
Spiegelung um Ebene normal zur
Achse. (Horizontale Spiegelebene
σh)
/ Sn, n/m n=2, 3, 4, ...
n , k
ist 2π/n. Cn n = E. Generiert
n Operationen. Man schreibt
immer den niedrigsten
Term an: z.B. anstelle C6 3
schreibt man C2.
Inverses Element : (Cn m ) -1 =
Cn n-m .
Die unabhängige Existenz
von Drehung und
Spiegelung garantiert die
Zusammensetzung zu einer
Sn. Sie kann jedoch
existieren, ohne daß Cn und
σ unabhängig davon
existieren.
n=gerade: Sn m =Cn m (m
gerrade) Sn n =E.
S2m m = i (m
ungerade).
(Sn m ) -1 = Sn n-m .
n=ungerade: Cn und σ
existieren auch
getrennt:
Sn n =σ und Sn•σ =
Cn.
Sn 2n =E. Generiert
2n
Symmetrieoperation
en.
(Sn m ) -1 =Cn n-m (m
gerade)
(Sn m ) -1 =Sn 2n-m (m
unger.)
Die Symmetrieoperationen nach Def. 2.1, welche ein Objekt im Raum invariant
erscheinen lassen, bilden mit der Verknüpfung aus Def. 2.4 eine Gruppe. Die
Punktsymmetrieoperationen bilden eine endliche Gruppe nur, wenn sie mindestens
einen gemeinsamen Punkt im Raum invariant lassen.
Beweis: Der Beweis von Satz 2.1 braucht nicht in der üblichen mathematischen Strenge
durchgeführt werden. Vielmehr kann anschaulich klar gemacht werden, dass die
Gruppenaxiome mit Symmetrieoperationen nach Def. 2.1 und der Verknüpfung
nach Def. 2.4 erfüllt sind. Die Wohldefiniertheit der Verknüpfung (oder
Abgeschlossenheit) folgt aus der Transitivität der Eigenschaft ununterscheidbar.
Das assoziative Gesetz kann aus dem assoziativen Gesetz für allgemeine
Bewegungen (Rotationen, Spiegelungen, Translationen) im Raum (nur die
Reihenfolge ist wichtig) übernommen werden. Inverses und neutrales Element