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P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 8 ∞ 2ω ε r ( ν ) − ε r ( ∞) ε i ( ω) = ν 2 2 π ∫ d v − ω 0 Die Absorptionskonstante α(ω) aus dem Lambert-Beer’schen Gesetz: I(ω,r) = I0 e -α(ω)r ergibt sich dabei zu: 2ωκ ( ω) α ( ω) = c Es muss hier erwähnt werden, dass leider keine einheitlichen Bezeichnungen und Definitionen bei den optischen Größen existieren. Oft wird der komplexe Brechungsindex auch mit n(1-ik) angesetzt, wobei k als Absorptionsindex (oder auch extinction coefficient), κ=nk als Absorptionskoeffizient (oder auch absorption constant) und α(ω)=4πnk/λ als Absorptionskonstante (absorption coefficient) bezeichnet wird. 2 2 { n( ω) −1} + κ ( ω) 90° Reflexionsgrad: R ( ω) = 2 2 { n( ω) + 1} + κ ( ω) Die komplexe optische Leitfähigkeit: σ(ω)=-iωε0{ε(ω)-1} Die elektrische Leitfähigkeit: limω→0σr(ω) = ωε0εi(0) Als Vergleich zu mikroskopisch definierten Größen mag hier die Absorption dienen, welche recht leicht quantenmechanisch als die Wahrscheinlichkeit der Absorption eines Photons der Frequenz ω zu formulieren ist. Diese ergibt sich aus der Übergangswahrscheinlichkeit 1/τ mit Hilfe Fermi’s golden rule 1/τ = 2π/h 2 δ(Ei - Ef), welche im Volumen V = A d anzuwenden ist. Die vorher definierte Absorptionskonstante α(ω) ergibt sich dann zu -1/d ln(1-1/τ). Im Limes d→0 erhält man α ≈ 1/d • 1/τ. 1.5 Beispiel: Magnetische Suszeptibilität Hier soll als Beispiel gezeigt werden, dass Suszeptibilitäten auch direkt aus mikroskopischen Modellen berechnet werden können und somit mit den phänomenologisch definierten Größen verglichen werden können. Hierbei benützen wir wieder die Definition mit Hilfe der magnetischen Magnetisierung: M = µ0ξH. Geht man von einem Spinsystem aus, wo auf Gitterplätzen Spins in verschiedenster Richtung (und auch Größe) angeordnet sind, dann wird die Gesamtmagnetisierung vom Gesamtspin S der Anordnung abhängen. Da ein Spin klassisch einem Drehimpuls entspricht, handelt es sich hier genauso wie bei der Magnetisierung um eine Vektorgröße. Die Gesamtmagnetisierung ergibt sich aus dem Erwartungswert des Gesamtspins: M α = -2µB
P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 9 Es wurde dabei angenommen, dass der Spin von Elektronen mit dem gyromagnetischen Verhältnis von 2 verursacht wird. µB bezeichnet dabei das Bohr'sche Magneton. Die Berechnung des Erwartungswertes muss quantenmechanisch in dem jeweiligen Modell durchgeführt werden. Nimmt man zum Beispiel das Heisenbergmodell und setzt voraus, dass man seine Eigenzustände i> und deren Energien kennt, so erhält man aus dem Gesamtspinoperator den gewünschten Erwartungswert, wobei auch thermisch gemittelt wird: = ∑ i − Ei/ kT e 〈 i| S | 〉 α i ∑ i e −Ei/ kT Das Auffinden der Lösungen des Heisenbergmodelles ist dabei keineswegs einfach und kann meist nur unter starken Näherungen erfolgen. (Spinwellennäherung, random phase approximation etc.) 1.6 Wichtige Einheiten und Konstanten Energie: [E]=Joule=Wsec, eV, Ry, cm -1 , K IS: 1 Joule = 1 Wsec = kgm 2 /sec 2 Konstanten: Elektronvolt: 1 eV = 1.6 10 -19 Wsec Rydberg: 1 Ry = me 4 e 2 24 ( πε0h) = 13.607 eV Wellenzahlen: 1cm -1 = 1 E = λ hc : ≡ 1.24 10-4eV Temperatur: 1K = E k ≡: 1.43cm-1 −31 m = 91 . ⋅10kg, e −19 e = 16 . ⋅10Asec, −12 ε = 885 . ⋅10Asec/ Vm, 0 h −34 2 h = = 105 . ⋅10Wsec , 2π −23 k = 138 . ⋅10Wsec/ K, B 8 c = 2. 998⋅10 m/ sec B
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