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P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 7
Elastizitätsmodul E: σ = E • ε (die eindimensionale Form des Hooke'schen Gesetzes)
Dabei entspricht σ der Normalspannung (Normalkraft/Fläche) und ε der
( 1)
( 1)
relativen Dehnung (∆x/x). Damit wird E = c oder E = c .
Der Vergleich zu mikroskopischen Modellen erfolgt hier am besten über die
Schallgeschwindigkeit, welche in einem Kontinuummodell für die longitudinale Welle mit
v = E berechnet wird. Die mikroskopische Betrachtung der eindimensionalen Kette aus 2
ρ
Massen M1 und M2, welche im Abstand a jeweils mit der Federkonstante C gebunden sind
ergibt als Anstieg des akustischen Zweiges bei kleinem Wellenvektor (q=0):
v = a
2C
M + M
. Daraus erhält man ein mikroskopisches Bild des Elastizitätsmoduls mit
1
2
2
a 2Cρ
E = . Nimmt man an, dass solche Ketten in einem räumlichen kubischen Gitter mit
M 1 + M 2
M 1 + M 2 C
jeweiligen Abstand a angeordnet sind, so ergibt sich die Dichte ρ = und E = .
3
2a
a
Der Vorteil dieser mikroskopischen Betrachtung liegt nun darin, dass man gezielt nach
Materialien mit einer möglichst starken Bindung bei gleichzeitigem geringen
Bindungsabstand suchen kann, wenn man an Materialien mit möglichst großem
Elastizitätsmodul interessiert ist.
Ein etwas allgemeinerer Zusammenhang kann für longitudinale Wellen (unter
Vernachlässigung der Piezoelektrizität) hergeleitet werden ω 2 (LA) = 1/ρ cxxxx kx 2 , welcher
mit der mikroskopischen Dispersionsrelation zu vergleichen ist.
1.4 Beispiel: Optik, Elektrizität
Dieses Beispiel dient vor allem dazu, die Bedeutung der komplexen Natur der
( 0)
( 1)
( 2)
eingeführten Suszeptibilitäten χ , χ , χ ..... aufzuzeigen. Die bekannte Definition
i
ij
ijl
der elektrischen Suszeptibilität ist über die Polarisation formuliert, welche von einem
r
äußeren Feld induziert wird. Im SI System: P E
r
( 1)
= ε 0χ . Mit
r r r r
D = ε 0εE = ε 0E
+ P = ε 0 ( 1 + χ )Eist der Zusammenhang zur komplexen
dielektrischen Funktion hergestellt. Zu beachten ist, dass die dielektrische Funktion
ebenso wie die lineare Suszeptibilität ein Tensor 2.Stufe ist.
r
( 1)
ε(ω) = εr(ω) + iεi(ω) dielektrische Funktion
n(ω) - iκ(ω) komplexe Brechzahl
ε(ω) = {n(ω) - iκ(ω)} 2
für komplexe Antwortfunktionen gelten die Kramers-Kronig Beziehungen:
2 νε ( ν ) i
ε r
( ω)
= ε r ( ∞)
+ ν 2 2
π ∫ d
v − ω
∞
0
1111
11