jeweils Di., 11.00 - 12.30 Uhr Ort - KFU

P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 67
r
Hˆ
( k ) =
∑
r
k
∑
⎧ 1 Q&
r Q&
r
2 +
k , i −k
, i
⎪ i
⎪ 1 2
⎪+
r ∑ Q r Q r
2 ω +
k , i k , i −k
, i
i ⎪
1 ( 3)
⎪+
∑ f r r r
6 N k , k1,
k2
, i1
, i2
, i3
r
⎪ i1,
i2
, i3
k1
⎪
1
⎨
+ 6 N
⎪
⎪+
.......... ...... +
⎪
1 1 n−2
( n)
⎪+
n ( ) N ∑ f r r r
!
k , k1,...,
k
⎪
i1,...,
in
⎪
1 1 n−2
⎪+
n!
( ) N
r r
⎩
+ + k 1=
−k
∑
r r
+ k = −k
2
∑ ∑ Q r Q r Q r
k , i k , i k , i ∑
∑
∑ ∑ Q r Q r .... Q r
k , i k , i k , i ∑
+
r r r
1 1 2 2 3 r r
k + k = −k
i , i , i
δ , δ
, i ,... in
r r r
k + .... + k = −k
n−1
1
Q
r
k , i
1
r
k , i
n−1
r
k , i
r
k , i
r
k , i
r r r
k i
1
.... Q
1 1 2
n−1
n
1 ..... n− i1
,..., n δ1,...,
δ n−1
Q
1 2
Q
2 3
1 2 1 2 3
1 2
Q
1
Q
1 2
f
( 3)
r r r r r
k , k , k , δ , δ , i , i , i
r
k
f
, i
n−1
n
+
( n)
r r r
k , k ,..., k
1
r r
, δ ,..., δ
n−1
1
e
1 2 1 2 1 2 3
r r
ik
δ
, i ,..., i
n−1
1
1 1
e
r r
ik
δ
n
2 2
e
r r
ik
δ
1 1
+
... e
r
ik
r
δ
n−1
n−1
Für ein besseres Verständnis soll im weiteren noch kurz die genaue Definition der
Kopplungskonstanten nach den unitären Transformationen in vollständiger Indexschreibweise
angegeben werden:
bzw.
f
( n)
r r r
k,
k ,..., k
1
, i ,... i
n−1
1
n
=
n−1
1
bα
∑U r r r
k,
k1,...,
kn−1,
i1
1,...
bαn
( n)
,... i , bα
,... bα
bα
,... bα
( n)
~
f r r r r r =
.
k , k ,..., k
1
, δ ,... δ
n−1
1
, i ,... i
n
bα
n
1
n
~
k
( n)
∑U r r r k r r
k , k1,...,
kn
−1,
i1
,... in
, bα1,...
bαn
δ1,...
δ n−1
1,...
bαn
1
n
,
, bα
,... bα
Die entsprechenden 2n-stufigen Tensoren können aus dem Tensorprodukt der unitären
Transformation des harmonischen Terms bei verschiedenen k-Vektoren gewonnen werden zu:
U r = U ⊗U
⊗.........
⊗U
,
( n)
r r r r
r
k , k1,...,
kn−1
k k1
kn−1
bzw. in Komponenten:
U r = U U ...... U . α
r r
r r
r
k , k1,...,
kn−1
, i1,...,
in
, bα
1,...
bαn
k , i1,
bα1
k1,
i2
, bα2
kn−1
, in
, b
5.2 anharmonisches Verhalten einer einzelnen Schwingungsmode
(Phonon)
Wir wollen uns auf eine einzelne Schwingungsmode konzentrieren und die Auswirkungen der
anharmonischen Terme im Potential näher untersuchen. Ohne Beschränkung der
Allgemeinheit betrachten wir dabei das Phonon mit k = 0
r
. Der entsprechende
Hamiltonoperator lautet:
r
Hˆ
( k = 0)
=
1
2
&r &r
Q Q
0
0
+
1
2
r r
r
2
−
0
1 1 n 2 ( n)
Q0ω
0Q0
+ ∑ n!
∑(
) [ f ] r 0 { Qr
}
N {}
.
r
k k n
0
n
n≥3
{} k
r n
ki
= 0
n
1
n
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭