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P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 66
Die Variation der Exponentialfaktoren, welche mit dem Symbol { } k
r
n−
1
beschrieben wird,
lässt dabei von den n k-Vektoren den Vektor k r aus. Damit bedeutet die symbolische
Schreibweise ausführlich:
r
r r k r r r r r r
ikδ
ik1
δ1
ik2δ
2 ikn−1δ
n−1
{ e } ≡ e e ...... e
n−1
.
Die harmonische Näherung erhält man wiederum, wenn man nur den dynamischen Tensor der
Ordnung 2 (dynamische Matrix) berücksichtigt. Nur in diesem Fall kann eine exakte
Diagonalisierung durchgeführt werden. Aber auch im Fall stark anharmonischer Terme ist es
zweckmäßig, durch eine unitäre Transformation in die Normalkoordinaten Q U R
k k k
r r r
r ~ r
= den
Term 2. Ordnung zu diagonalisieren und dadurch den Hamiltonoperator in den harmonischen
Normalkoordinaten bei den verschiedenen k-Vektoren auszudrücken:
r r
r
2 *
n−
n 0
[ k ] Q r 1 1 2 ( )
( ) + ( ) [ f ] r { Q r
0 }
{}
r ⎧ r
⎫
Hˆ
1 &r &r
*
k = ∑⎨QrQr1 ( )
+ Q r
r 2 k k 2 ω k
k ∑ n!
N
k n ⎬ .
k n
k ⎩
n≥3
⎭
Daraus ist ersichtlich, dass neben den aus der harmonischen Lösung bekannten freien
( n)
f r
Phononen noch zusätzliche anharmonische Kopplungen mit den Kopplungstensoren [ ] 0 {}
auftreten, welche sämtliche harmonische Phononen untereinander verkoppeln. Diese
Kopplungstensoren sind durch entsprechende unitäre Transformation aus den dynamischen
Tensoren n-ter Ordnung entstanden. Um hier genauer die einzelnen Umformungen erkennen
zu können empfiehlt sich auf die komplette Indexschreibweise kurz zurückzugehen, auch
wenn dies auf den ersten Blick recht verwirrend aussehen mag. Dabei fassen wir der
Einfachheit wegen die Indizes b über die Atome der Basis in der Elementarzelle und den
Index α über die 3 Raumrichtungen zu bα zusammen, wodurch wir bei der unitären
Transformation Q r ∑U
r R r den Index i erhalten. Der Hamiltonoperator der letzten
k , i
k , i,
bα
k , bα
=
bα
Gleichung schreibt sich dann:
r
Hˆ
( k ) =
∑
r
k
⎧
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
1
2
∑
i
Q&
r Q&
r
k , i −k
, i
+
1
2
∑
i
...... +
ω Q
1
n!
2
r
k , i
1 ( )
N
r
k , i
Q
n−2
r
−k
, i
+
1
6 N
r r 2 r
( k + k = −k
)
∑ ∑
r r r
k1+ .... + k −1=
−k
i1,...
i
1
n n
∑ ∑
r r r
r r
k , k1,
k2
, i1,
i2
, i3
k1, k i1,
i2
, i3
2
f
r r
r
f
k , k1,...
kn
−1,
i1,....
in
Q
r
k , i1
Q
, Q
r
k , i1
Q
r
k1,
i2
r
k1,
i2
Q
r
k2
, i3
......... Q
r
k
+ ... ⎫
⎪
⎬
⎪
−1,
in
⎪⎭
Für die weiteren Ausführungen ist es noch wichtig sich zu erinnern, dass das Potential der
Kerne in einen Anteil innerhalb der Elementarzelle und einen zwischen den Elementarzellen
aufgeteilt wurde. Nach der Fourier-Transformation ergibt dies einen k-unabhängigen Anteil
der dynamischen Tensoren und einen dispersiven Anteil. Aufgeteilt in diese Anteile erhält
man nach der unitären Transformation:
n
k n