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P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 65
werden, wenn um das Minimum entwickelt wird. Der Hamiltonoperator schreibt sich
allgemein zu;
r
Hˆ
( R)
=
1
2
r
P
r
1 n 1 r r
t , b,
α t , b,
αi
1
1
( n)
[ M ] P + ∑ VnR
= ∑ + ∑ ∑kr
{ } { Rr
}
t , b,
α t , b,
α
n
n!
r
2
P
M
P
r
t , b,
α b
n!
r
{ t , , α}
n b
Dabei wurde eine neue Schreibweise {}n eingeführt, welche bedeutet, dass der Inhalt der
Klammer n-mal mit unterschiedlichen Indizes anzuschreiben ist. Also:
r r r
r
{ t , b,
α } n ≡ t1,
b1,
α1,
t2,
b2,
α 2,.........
. tn
, bn
, α n und { Rr } t , b,
α ≡ Rr
n t b Rr
, , α t , b , α .......... . Rr
1 1 1 2 2 2
tn
, bn
, α . Die
n
restliche Schreibweise und Bedeutung der Indizes entspricht der in Abschnitt 4.1.
eingeführten Form. Auch die weitere Vorgangsweise entspricht zunächst der in Abschnitt 4.1.
unter der harmonischen Näherung durchgeführten Weise. Nach Überführung in
massegewichtete Koordinaten ergibt sich in kompletter Indexschreibweise bzw. in der
teilweisen Indexschreibweise (nur Index der Elementarzellen):
( n)
~ r k r
1 ~ ~ 1
{ }
~ r ~ r
~ r
t , b,
α n
Hˆ
R = ∑ Pr
+ ∑ ∑ { } =
{ } { }
∑ + ∑ n {}{ }
t b Pr
t b i
Rr
1
t b Pr
n
t Pr
1 ~
( )
t V r
t Rr
r , , α , , α
n t n
2 t b
n n!
r
, , α r
2
r
! .
, , α
t , b,
α M
t
{} t
n
Wiederum muss die Translationssymmetrie des Potentials berücksichtigt werden, weshalb
wiederum in einen Anteil in der Elementarzelle und dem zwischen den Elementarzellen
unterschieden werden kann:
~ ~ ~ ~ ~ n
V r = K + K = K + K
mit
( n)
( n)
( n)
( )
{} t n t
{ t −t
'}
{ δ }
r
r r
r
n−1
n−1
Dadurch schreibt sich der Hamiltonoperator:
~ r
Hˆ
( R)
=
⎪⎧
1
n
∑⎨Pr+ ∑ ⎜ ⎜⎛
⎟⎞
t Pr
1 ( )
t n K Rr
2
!
t ∑
⎪⎩
~ r ~ r
⎛ ~
⎜
⎝
⎝
~ r
⎠
b
+
{ δ }
r r
t n
n
n
n−1
~ r ~
R K
r
t
r
r
(i )
δ i = t − t .
~ r ( n)
{ R r
r r }
{ δ } t + δ n
Sinngemäß bezieht sich dabei das Symbol {}n-1 auf entsprechende Variation in δ . Durch
Fourier-Transformation mit
r
erhält man:
~ r 1 ~ r
Rr
t = ∑ Rre
r k
N
H ( k ) =
k
⎩
rr
ikt
r ⎧ ~ &r ~ &r
0
ˆ 1 *
∑⎨RrRr1 +
r 2 k k ∑ n!
0 .
k n
~ r ⎫
1 n−2
( n)
( ) D r R r
{}{ }
N
k n ⎬
k n ⎭
0
n
Die Schreibweise wurde dabei um { } erweitert und bedeutet, dass die Summe über die n k-
n−1
n
−1
r
⎞⎪⎫
⎟
⎬ .
⎠⎪⎭
Vektoren Null geben muss. Der n-te dynamische Tensor ergibt sich dabei zu:
( n)
( n)
( n)
0 {} k
r { } n
δ n
δ
{ } ∑ n−1
−1
r
r r k
ikδ
{ e }
~ ~
D r = K + K r .
n−1
n
n
n
.