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P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 6 Die entsprechenden physikalischen Größen wurden dabei historisch rein phänomenologisch eingeführt. (z.B. Absorptionskoeffizient, Extinktionsfaktor, imaginärer Brechungsindex etc.). Im Folgenden soll versucht werden, die möglichen phänomenologischen Größen nach einheitlichen Schema zu ordnen und als Suszeptibilitäten anzuschreiben. Dies gelingt durch eine Reihenentwicklung der Gesamtenergie (Potential) nach den Größen S (mechanische Verzerrung), E (elektrisches Feld) und H (magnetisches Feld). Die entsprechenden Entwicklungskoeffizienten sind dabei verallgemeinerte Suszeptibilitäten. 1.2 Phänomenologische Definition der Materialparameter 1 ( 1) 1 ( 2) V(S,E,H) = ∑ c ijlsS lsS ij + ∑ cijlsrmS rmS lsS ij + ..... mechanisch 2 ijls 6 ijlsrm ( 0) 1 ( 1) 1 ( 2) + ∑ χ i E + ∑ χ ij E E + ∑ χ ijl El E jE i + ..... elektr.optisch i j i i 2 ij 6 ijl ( 0) 1 ( 1) 1 ( 2) + ∑ξ i H + ∑ξ ij H jH + ∑ξijl H l H jH i + ..... magnetisch i i i 2 ij 6 ijl + k S E + ..... mechano-elektr.optisch + ∑ ijl ijl jl i ∑m S H ijl jl i ijl + ..... 1 + ∑o ijlE l E jH i 2 ijl elektr.optisch + ..... magneto- mechano-magnetisch Wichtig ist zu bemerken, dass die auf diese Weise eingeführten Suszeptibilitäten keineswegs Konstanten sind, sondern ihrerseits nun von Frequenzen, Temperatur etc. abhängen können. Außerdem müssen sie im allgemeinen als komplexe Funktionen betrachtet werden (Phasenverschiebungen, Dissipation etc.). Für die einzelnen Materialeigenschaften sind wiederum (historisch bedingt) eine Reihe von Stoffkonstanten definiert worden, die jedoch alle als Spezialfälle der hier angeschriebenen Suszeptibilitäten abgeleitet werden können. 1.3 Beispiel: Mechanik 1 Der erste Term ∑ 2 ijls c ijls ) 1 ( S ls S ij vom mechanischen Beitrag zum Gesamtpotential entspricht dem bekannten Hooke'schen Gesetz: c S . Die elastische Konstanten sind die ) 1 ( ( 1) σ = c ij ijls ls universalen Stoffkonstanten. Anders definierte Größen wie z.B. der Kompressionsmodul, der Schubmodul oder Torsionsmodul und der Elastizitätsmodul lassen sich daraus ableiten. (Da Spannung und Verzerrung symmetrische Tensoren sind, können jeweils 2 Indizes welche jeweils über x, y, z laufen auf einen Index welcher über xx, yy, zz, yz, zx, xy läuft verjüngt werden.) ijls
P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 7 Elastizitätsmodul E: σ = E • ε (die eindimensionale Form des Hooke'schen Gesetzes) Dabei entspricht σ der Normalspannung (Normalkraft/Fläche) und ε der ( 1) ( 1) relativen Dehnung (∆x/x). Damit wird E = c oder E = c . Der Vergleich zu mikroskopischen Modellen erfolgt hier am besten über die Schallgeschwindigkeit, welche in einem Kontinuummodell für die longitudinale Welle mit v = E berechnet wird. Die mikroskopische Betrachtung der eindimensionalen Kette aus 2 ρ Massen M1 und M2, welche im Abstand a jeweils mit der Federkonstante C gebunden sind ergibt als Anstieg des akustischen Zweiges bei kleinem Wellenvektor (q=0): v = a 2C M + M . Daraus erhält man ein mikroskopisches Bild des Elastizitätsmoduls mit 1 2 2 a 2Cρ E = . Nimmt man an, dass solche Ketten in einem räumlichen kubischen Gitter mit M 1 + M 2 M 1 + M 2 C jeweiligen Abstand a angeordnet sind, so ergibt sich die Dichte ρ = und E = . 3 2a a Der Vorteil dieser mikroskopischen Betrachtung liegt nun darin, dass man gezielt nach Materialien mit einer möglichst starken Bindung bei gleichzeitigem geringen Bindungsabstand suchen kann, wenn man an Materialien mit möglichst großem Elastizitätsmodul interessiert ist. Ein etwas allgemeinerer Zusammenhang kann für longitudinale Wellen (unter Vernachlässigung der Piezoelektrizität) hergeleitet werden ω 2 (LA) = 1/ρ cxxxx kx 2 , welcher mit der mikroskopischen Dispersionsrelation zu vergleichen ist. 1.4 Beispiel: Optik, Elektrizität Dieses Beispiel dient vor allem dazu, die Bedeutung der komplexen Natur der ( 0) ( 1) ( 2) eingeführten Suszeptibilitäten χ , χ , χ ..... aufzuzeigen. Die bekannte Definition i ij ijl der elektrischen Suszeptibilität ist über die Polarisation formuliert, welche von einem r äußeren Feld induziert wird. Im SI System: P E r ( 1) = ε 0χ . Mit r r r r D = ε 0εE = ε 0E + P = ε 0 ( 1 + χ )Eist der Zusammenhang zur komplexen dielektrischen Funktion hergestellt. Zu beachten ist, dass die dielektrische Funktion ebenso wie die lineare Suszeptibilität ein Tensor 2.Stufe ist. r ( 1) ε(ω) = εr(ω) + iεi(ω) dielektrische Funktion n(ω) - iκ(ω) komplexe Brechzahl ε(ω) = {n(ω) - iκ(ω)} 2 für komplexe Antwortfunktionen gelten die Kramers-Kronig Beziehungen: 2 νε ( ν ) i ε r ( ω) = ε r ( ∞) + ν 2 2 π ∫ d v − ω ∞ 0 1111 11
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