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P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 58 Entsprechend zusammengefasst erhalten wir die Bewegungsgleichung in übersichtlicher Form: & &r ⎛ Q + ΓQ + ⎜ N + ⎝ r ε 1 0 Z ∞ 1 ⎞ r ⎟ ⎠ − T ( I + Wε − W ) WZ ⎟Q = 0 Dies zeigt, dass durch die Elektrodynamik zusätzliche Wellenvektor-abhängige Kraftkonstanten entstehen, welche als Laufzeiteffekte (Retardierung) der Ausbreitung der elektromagnetischen Welle verstanden werden können. Die bisher bestimmten Eigenmoden α ohne dieser Retardierung gelten daher für unpolare Moden ( Z r = 0 ) oder für transversale Moden mit genügend großem n (weit weg von der Lichtgeraden). Die Matrix N beherbergt also die Frequenzquadrate von TO-Moden und wird im folgenden daher mit NTO bezeichnet, r genauso wie die Normalkoordinate mit QTO . Die so erhaltene Bewegungsgleichung ist nicht mehr in den einzelnen Komponenten separiert (neue dynamische Matrix nicht diagonal) und kann bis auf den Dämpfungsterm (der ohnehin nur phänomenologische Bedeutung hat) mit einer unitären Transformation (orthogonale Transformation) diagonalisiert werden. Näherungsweise kann die nun nicht mehr diagonale Dämpfungsmatrix phänomenologisch durch eine neue Diagonalmatrix ersetzt werden. 4.3.3 Longitudinale Phononen: Longitudinale Phononen können durch die Matrix W=I, der Einheitsmatrix, simuliert werden. In diesem Fall erhalten wir: & Q r TO + Γ TO &r Q TO ⎛ + ⎜ N ⎝ TO 1 + ε ε 0 ∞ ZZ T ⎞ r ⎟ ⎟Q ⎠ TO = 0 . Diese neue dynamische Matrix für die LO-Moden ist im allgemeinen nicht diagonal und muss erst mit einer orthogonalen Transformation ULO diagonalisiert werden. N 2 ⎛ 1 T ⎞ −1 [ ] = U ⎜ N + ZZ ⎟U ω . ⎝ ⎠ LO = LO LO ⎜ TO ⎟ LO ε 0ε ∞ Dabei werden natürlich auch die Normalkoordinaten verändert QLO U LOQTO r r = und auch der Dämpfungsterm ΓLO −1 = U LOΓTOU LO . Diese neue Dämpfungsmatrix ist im allgemeinen nicht mehr diagonal und wird näherungsweise durch eine Diagonalmatrix ersetzt. Im Fall nur einer einzigen Mode braucht nicht neu diagonalisiert zu werden und man erhält für die LO- Frequenz: 2 1 2 Z ω ω + . Dies entspricht genau der Nullstelle der dielektrischen 2 LO = ε TO ε0 ∞ Funktion für eine Mode 1 2 ε Z 0 ε = ε ∞ + 2 ωTO − iωγ TO 2 1 2 2 ω ωγ ω 2 TO + ε ω 0ε Z − i − 2 ∞ TO ω LO − iωγ TO − = ε = ε 2 ∞ 2 2 ∞ , 2 2 − ω ωTO − iωγ TO − ω ωTO − iωγ TO − ω wenn die Dämpfung vernachlässigt wird. Daraus lässt sich eine verallgemeinerte faktorisierte Form der dielektrischen Funktion unter Berücksichtigung der Dämpfung angeben: .
P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 59 ε ε αα αα = ∞ α r ∏ LO 2 2 ( ω α ) − iωγ − ω r LO TO 2 2 ( ω α ) − iωγ − ω 4.3.4 Transversale Phononen: r TO . Die Matrix NTO beschreibt transversale Phononen weit weg von der Lichtgeraden. Was passiert aber in ihrer Nähe? Dieses Verhalten in Abhängigkeit vom Betrag des Wellenvektors wird mit dem eingeführten Brechungsindex n beschrieben. Transversale Phononen können durch die Matrix I n 2 µ W = simuliert werden. Die Bewegungsgleichung lautet: µ − & Q r TO + Γ TO &r Q TO ⎛ + ⎜ N ⎜ ⎝ TO + 1 µ n ε 0 µ 2 − 1 ZZ + ε −1 ∞ T ⎞ r ⎟Q ⎟ ⎠ TO = 0 . Wir beschränken uns auf nichtmagnetische Materialien mit nur einer Mode und erhalten: 1 1 2 ω 2 = ωTO + ε 0 ε ∞ 2 − n 2 Z 2 = ωTO + 2 ε 0 ω ε ∞ 2 2 Z . 2 2 − c k 1 ω Für n=0 erhalten wir die Frequenz der LO-Mode, während die Bedingung n = ε ∞ , welche der freien elektromagnetischen Welle entspricht, erst bei unendlich großer Frequenz erreicht wird. Weitere Einsicht in das Verhalten der Transversalwelle erhält man, wenn man explizit die Abhängigkeit von k, dem Betrag des Wellenvektors, ansieht. Man erkennt, dass es für ein fix vorgegebenes k zwei Lösungen gibt, also zwei Zweige im Energie-Impulsdiagramm vorliegen. Die entsprechenden Dispersionsrelationen sind: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ⎛ c k 2 ⎞ 1 ⎛ c k 2 ⎞ ωTOc k ω + = ⎜ + ω LO ⎟ + ⎜ + ω LO ⎟ − und 2 ⎝ ε ∞ ⎠ 4 ⎝ ε ∞ ⎠ ε ∞ 2 2 2 2 2 2 2 1 ⎛ c k 2 ⎞ 1 ⎛ c k 2 ⎞ ωTOc k ω − = ⎜ + ω LO ⎟ − ⎜ + ω LO ⎟ − 2 ⎝ ε ∞ ⎠ 4 ⎝ ε ∞ ⎠ ε ∞ Wie leicht zu erkennen ist, entartet die Transversalwelle bei verschwindendem Wellenvektor mit der LO-Frequenz oder sie geht gegen Null. Bei besonders großem Wellenvektor kann die LO-Frequenz vernachlässigt und der Wurzelausdruck entwickelt werden: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c k ⎛ c k ⎞ ωTOc k c k c k ωTOε ∞ c k ⎛ c k 2 ⎞ ω + , − ≈ ± ⎜ ⎟ − = ± 1 − ≈ ± ⎜ − ω ⎟ 2 2 TO . 2ε ∞ ⎝ 2ε ∞ ⎠ ε ∞ 2ε ∞ 2ε ∞ c k 2ε ∞ ⎝ 2ε ∞ ⎠ Daraus sieht man, dass der energetisch höhere Ast wie ein Photon linear bei großem k 2 ansteigt, ω 2 2 c k und der energetisch niedrigere Ast zu konstanter Frequenz konvergiert: 2 ω − ≈ ω 2 TO . + ≈ ε ∞ 2 2 2 .
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