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P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 58
Entsprechend zusammengefasst erhalten wir die Bewegungsgleichung in übersichtlicher
Form:
& &r ⎛
Q + ΓQ
+ ⎜ N +
⎝
r
ε
1
0
Z
∞
1
⎞ r
⎟
⎠
− T
( I + Wε
− W ) WZ ⎟Q
= 0
Dies zeigt, dass durch die Elektrodynamik zusätzliche Wellenvektor-abhängige
Kraftkonstanten entstehen, welche als Laufzeiteffekte (Retardierung) der Ausbreitung der
elektromagnetischen Welle verstanden werden können. Die bisher bestimmten Eigenmoden
α
ohne dieser Retardierung gelten daher für unpolare Moden ( Z r = 0 ) oder für transversale
Moden mit genügend großem n (weit weg von der Lichtgeraden). Die Matrix N beherbergt
also die Frequenzquadrate von TO-Moden und wird im folgenden daher mit NTO
bezeichnet,
r
genauso wie die Normalkoordinate mit QTO . Die so erhaltene Bewegungsgleichung ist nicht
mehr in den einzelnen Komponenten separiert (neue dynamische Matrix nicht diagonal) und
kann bis auf den Dämpfungsterm (der ohnehin nur phänomenologische Bedeutung hat) mit
einer unitären Transformation (orthogonale Transformation) diagonalisiert werden.
Näherungsweise kann die nun nicht mehr diagonale Dämpfungsmatrix phänomenologisch
durch eine neue Diagonalmatrix ersetzt werden.
4.3.3 Longitudinale Phononen:
Longitudinale Phononen können durch die Matrix W=I, der Einheitsmatrix, simuliert werden.
In diesem Fall erhalten wir:
& Q
r
TO
+ Γ
TO
&r
Q
TO
⎛
+ ⎜ N
⎝
TO
1
+
ε ε
0
∞
ZZ
T
⎞ r
⎟
⎟Q
⎠
TO
= 0 .
Diese neue dynamische Matrix für die LO-Moden ist im allgemeinen nicht diagonal und muss
erst mit einer orthogonalen Transformation ULO diagonalisiert werden.
N
2 ⎛ 1 T ⎞ −1
[ ] = U ⎜ N + ZZ ⎟U
ω .
⎝
⎠
LO = LO LO ⎜ TO
⎟ LO
ε 0ε
∞
Dabei werden natürlich auch die Normalkoordinaten verändert QLO U LOQTO
r r
= und auch der
Dämpfungsterm ΓLO −1
= U LOΓTOU
LO . Diese neue Dämpfungsmatrix ist im allgemeinen nicht
mehr diagonal und wird näherungsweise durch eine Diagonalmatrix ersetzt. Im Fall nur einer
einzigen Mode braucht nicht neu diagonalisiert zu werden und man erhält für die LO-
Frequenz:
2 1 2
Z
ω ω + . Dies entspricht genau der Nullstelle der dielektrischen
2
LO
= ε
TO ε0
∞
Funktion für eine Mode
1 2
ε Z
0
ε = ε ∞ + 2
ωTO
− iωγ
TO
2 1 2
2
ω
ωγ ω
2
TO + ε
ω
0ε
Z − i −
2
∞
TO ω LO − iωγ
TO −
= ε
= ε
2 ∞
2
2
∞
, 2
2
− ω ωTO
− iωγ
TO − ω ωTO
− iωγ
TO − ω
wenn
die Dämpfung vernachlässigt wird. Daraus lässt sich eine verallgemeinerte faktorisierte Form
der dielektrischen Funktion unter Berücksichtigung der Dämpfung angeben:
.