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P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 56 ( ) ⎟ r r r r 2 2 ⎛ 1 r r 1 r r ⎞ r r 1 1 r r r r ∂E ⎛ ∂ E 1 ∂ P ⎞ ∇ ⎜ ∇D − ∇P ⎟ − ∆E = ∇ ρ − ∇ ∇P − ∆E = −µµ − ⎜ 0σ µµ 0ε 0 + . 2 2 ⎝ ε 0 ε 0 ⎠ ε 0 ε 0 ∂t ⎝ ∂t ε 0 ∂t ⎠ Separiert nach den Variablen erhält man: r r r 2 ∂ E ∂E r 1 1 r r r ∆E − µµ 0ε 0 − µµ 2 0σ = ∇ ρ − ∇ ∂t ∂t ε ε 0 0 r P ∂t 2 ∂ ( ∇P) + µµ 0 2 r r + r r + r r i Wir betrachten nun die Lösungen für ebene Wellen, also: ( ωt kr Pe ) i und ( ωt kr Ee ) : r r r 2 ( kP) ω µµ P r 2 r r r r r 2 1 1 − k E + ω µµ 0ε 0E − iωµµ 0σE = ∇ ρ + k − 0 . ε ε 0 0 0 r r k 1 c r Mit den Abkürzungen s = r , c = und n = k erhält man nach Multiplikation der k ε µ ω 2 c Gleichung mit : 2 ω r i r r 2 ⎛ c r r r 2 µσ ⎞ 1 ⎛ 2r r ⎞ 1 2r r E ⎜ µ − n − ⎟ = ⎜− µ P + n s( sP) + ∇ρ ⎟ ≅ ( − µ P + n s( sP ) . 2 ⎝ ε 0ω ⎠ ε 0 ⎝ ω ⎠ ε 0 Da der Gradient der Ladungsverteilung nur innerhalb der Elementarzelle (also im mikroskopischen Bereich) einen Beitrag liefern kann, ist er für Wellen mit großer Wellenlänge im Vergleich zur Elementarzellenabmessung zu vernachlässigen, da über mehrere Elementarzellen gemittelt die Ladungsverteilung konstant Null ist. Die Beziehung zwischen elektrischem Feld und Polarisation muss sich wie jede andere Beziehung zwischen zwei Vektoren mit Hilfe einer Matrix schreiben lassen: r 2 n ⎛ r r r µ r ⎞ 1 r E = ⎜ s( sP) − P WP 2 ⎟ = − . ⎛ 2 iµσ ⎞ ⎝ n ⎠ ε 0 ε 0 ⎜ µ − n − ε 0ω ⎟ ⎝ ⎠ Durch Vergleich der einzelnen Komponenten lässt sich die Matrix bestimmen: ⎛ 2 µ ⎜ sx − 2 ⎜ n 2 n W = ⎜ s ys x 2 iµσ ⎜ n − µ + ε ⎜ 0ω ⎜ sz sx ⎝ s s 2 y s x s µ − 2 n z s y y 0 ⎞ sx sz ⎟ ⎟ s ⎟ ys z ⎟ 2 µ ⎟ sz − 2 ⎟ n ⎠ Damit ist die gefragte Bedingung der Elektrodynamik zwischen elektrischem Feld und Polarisation gefunden. Der Term mit der elektrischen Leitfähigkeit berücksichtigt dabei den Fall von Absorption und führt zu einer gedämpften Polarisationswelle. In den weiteren Betrachtungen wollen wir dies vernachlässigen und uns nur den ungedämpften Wellen
P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 57 zuwenden. Man findet z.B für Transversalwellen mit ( P) = 0 s r r : r E µ = 2 ε 0 ( ) P n − µ r . Für r r r r r −1 r Longitudinalwellen ist s( sP) = P und E = P . Das elektrische Feld einer longitudinalen ε 0 Polarisationswelle ist von ihrer Frequenz oder ihrem Wellenvektor unabhängig. Anders ist hier die Situation einer transversalen Polarisationswelle. Der Brechungsindex n beschreibt, wie weit man sich von einer "freien" elektromagnetischen Welle entfernt hat. Mit n 2 =µ bzw. n=1 liegt eine freie elektromagnetische Welle vor, wo zwar ein elektrisches Feld aber keine Polarisation vorhanden ist. Mit größerem n entfernt man sich von dieser freien elektromagnetischen Welle (im Energie-Impuls Diagramm ist diese freie elektromagnetische Welle durch die Lichtgerade charakterisiert) in Richtung höherer Wellenvektoren und die transversale Polarisationswelle verliert immer mehr ihr elektrisches Feld bis es ganz Null wird. Bei geringerem n entfernt man sich von der Lichtgeraden zu kleineren Wellenvektoren bis man bei Null den Wert wie für die longitudinale Welle erreicht. Bei Wellenvektor gleich Null entarten also longitudinale und transversale Welle, da ja hier dann keine Unterscheidung mehr möglich ist. (Nullvektor hat keine Richtung.) 4.3.2 Polaritonen: Im Weiteren wollen wir untersuchen, wie sich die bisher gewonnenen Erkenntnisse des Verhaltens von Polarisationswellen auf die Phononen auswirken. Wiederum wollen wir annehmen, dass die Gitterdynamik für sich in einem genügend kleinen Intervall um Wellenvektor gleich Null keine Wellenvektorabhängigkeit liefert (flacher dispersionsloser Ast um k=0), wie man es für unpolare optische Phononen auch erhält. Von polaren Phononen wissen wir, dass mit der Auslenkung eine Polarisation verbunden ist: r r r T P = Z Q + ( ε ∞ − I )E. ε 0 Mit dieser Polarisation ist aber nach den Maxwell'schen Gleichungen auch ein elektrisches Feld verbunden, r 1 r E = − WP , ε 0 das wiederum über die effektiven Ladungsparameter auf die Gitterdynamik Einfluss nehmen kann. Das mit der Auslenkung verbundene elektrische Feld ergibt sich aus obigen beiden Gleichungen zu: r 1 −1 ( W + − I ) Z Q 1 − E = − ε ∞ ε 0 Die Bewegungsgleichung für ein polares Phonon lautet dann: T r Q Q NQ ZE Z r r & &r r 1 −1 + Γ + = = − ε ∞ ε 0 . −1 ( W + − I ) Z Q T r .
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