jeweils Di., 11.00 - 12.30 Uhr Ort - KFU

P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 56
( ) ⎟ r
r r
r
2
2
⎛ 1 r r 1 r r ⎞ r r 1 1 r r r r ∂E
⎛ ∂ E 1 ∂ P ⎞
∇ ⎜ ∇D
− ∇P
⎟ − ∆E
= ∇ ρ − ∇ ∇P
− ∆E
= −µµ
−
⎜
0σ
µµ 0ε
0 + .
2
2
⎝ ε 0 ε 0 ⎠ ε 0 ε 0
∂t
⎝ ∂t
ε 0 ∂t
⎠
Separiert nach den Variablen erhält man:
r r
r
2
∂ E ∂E
r 1 1 r r r
∆E
− µµ 0ε
0 − µµ 2 0σ
= ∇ ρ − ∇
∂t
∂t
ε ε
0
0
r
P
∂t
2
∂
( ∇P)
+ µµ 0 2
r r
+
r r
+
r
r
i
Wir betrachten nun die Lösungen für ebene Wellen, also:
( ωt
kr
Pe
)
i
und
( ωt
kr
Ee
)
:
r r r 2 ( kP)
ω µµ P
r 2 r r r r r
2
1 1
− k E + ω µµ 0ε
0E
− iωµµ
0σE
= ∇ ρ + k − 0 .
ε ε
0
0
0
r
r k 1
c r
Mit den Abkürzungen s = r , c = und n = k erhält man nach Multiplikation der
k ε µ ω
2
c
Gleichung mit : 2
ω
r i
r r 2
⎛
c r
r r
2 µσ ⎞ 1 ⎛
2r
r ⎞ 1
2r
r
E ⎜ µ − n − ⎟ = ⎜−
µ P + n s(
sP)
+ ∇ρ
⎟ ≅ ( − µ P + n s(
sP
) .
2
⎝ ε 0ω
⎠ ε 0 ⎝
ω ⎠ ε 0
Da der Gradient der Ladungsverteilung nur innerhalb der Elementarzelle (also im
mikroskopischen Bereich) einen Beitrag liefern kann, ist er für Wellen mit großer
Wellenlänge im Vergleich zur Elementarzellenabmessung zu vernachlässigen, da über
mehrere Elementarzellen gemittelt die Ladungsverteilung konstant Null ist. Die Beziehung
zwischen elektrischem Feld und Polarisation muss sich wie jede andere Beziehung zwischen
zwei Vektoren mit Hilfe einer Matrix schreiben lassen:
r
2
n ⎛ r r r µ r ⎞ 1 r
E = ⎜ s(
sP)
− P WP
2 ⎟ = − .
⎛ 2 iµσ
⎞ ⎝ n ⎠ ε 0
ε 0 ⎜ µ − n −
ε 0ω
⎟
⎝
⎠
Durch Vergleich der einzelnen Komponenten lässt sich die Matrix bestimmen:
⎛ 2 µ
⎜ sx
− 2
⎜ n
2
n
W =
⎜ s ys
x
2 iµσ
⎜
n − µ +
ε ⎜
0ω
⎜ sz
sx
⎝
s
s
2
y
s
x
s
µ
− 2
n
z
s
y
y
0
⎞
sx
sz
⎟
⎟
s ⎟
ys
z
⎟
2 µ ⎟
sz
− 2 ⎟
n ⎠
Damit ist die gefragte Bedingung der Elektrodynamik zwischen elektrischem Feld und
Polarisation gefunden. Der Term mit der elektrischen Leitfähigkeit berücksichtigt dabei den
Fall von Absorption und führt zu einer gedämpften Polarisationswelle. In den weiteren
Betrachtungen wollen wir dies vernachlässigen und uns nur den ungedämpften Wellen