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P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 54 ε αβ αβ real = ε ∞, real 1 + ε 0 α β 2 2 Z r Z r ( ωr − ω ) ∑ 2 2 2 2 r ( ω − ω ) + γ bzw. für die optische Leitfähigkeit: σ αβ αβ real = ωε 0ε ∞, im + r r r ∑ 2 2 r ( ω − ω ) r Z α Z β r 2 r 2 γ ω 2 ω 2 2 + γ ω r und ε ε αβ αβ im = ∞, im 1 + ε 0 r r ∑ 2 2 r ( ω − ω ) r Z α β Z γ rω . 2 2 2 + γ ω 2 2 Z r Z r und ( ) ( r − ) im = 0 − ∞, real − ∑ 2 2 2 2 r ( − ) + 1 α β αβ αβ ω ω σ ωε ε ω ω γ Man sieht hier sofort, dass nur dann statische Leitfähigkeit vorliegt, wenn Resonsanzfrequenzen bei Frequenz Null vorhanden sind. (Dies sind transversale Anregungen.) In diesem Fall tragen nur diese Oszillatoren mit verschwindender transversalen Frequenz bei, welche quasi ungebundenen Ladungsträgern entsprechen, wie sie vereinfacht in Metallen vorausgesetzt werden. Man erhält: σ αβ real ( ω = 0) = ∑ Z α r 0 γ r r Z 0 0 β r 0 . Wird nur ein Oszillator mit verschwindender Transversalfrequenz angenommen, so kann die Verbindung zur klassischen Plasmafrequenz eines Elektronengases hergestellt werden: σ αα real = ωε ε αα 0 ∞, im 2 2 ( + γ ) α 2 αα α ( Z ) γ αα ε 0ε ∞, real ( ω LO ) + = ωε ε 2 2 ω + γ 0 ∞, im + 2 2 ω + γ α α ( Z ) als Nullstelle des Realteils der dielektrischen Funktion zu = r r r ω 2 ω γ . Dabei wurde die LO-Frequenz ω LO αα ε 0ε ∞, real 2 2 − γ ≈ 2 Ne ε Vmε bestimmt, wodurch sich die dielektrische Funktion schreiben lässt: ⎛ α 2 2 ( ) ⎞ ⎛ α 2 ( ) ⎞ αα αα ⎜ ω LO + γ ⎟ αα = − ≈ ⎜ ω LO ε ε − ⎟ ∞ 1 ε ∞ 1 . Dies entspricht bei Vernachlässigung der ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ω + iωγ ⎠ ⎝ ω ⎠ Dämpfung dem klassischen Ergebnis eines Plasmas. In nichtmagnetischen Materialien ist die komplexe dielektrische Funktion mit dem 2 n − iκ = ε + iε . Daraus folgt: 2 2 ε = n − κ , komplexen Brechungsindex verknüpft: ( ) r i ε r + ε − ε r + ε ε i = −2nκ bzw. umgekehrt: n = + und κ = − . Dieses Ergebnis, welches 2 2 hier strenggenommen nur für isotrope nichtmagnetische Medien angeschrieben ist, lässt sich sehr einfach auf anisotrope Medien erweitern, wenn von einem Koordinatensystem ausgegangen wird, indem die Materialgrößen (ε und µ) diagonal sind. Ausgangsgleichung ist α α 2 α α α α ( n − i ) = ( ε + iε )( µ + iµ ) κ r i r i dann: . Da die Reflexion der Strahlungsintensität mit ( ) ( ) ( ) ( ) 2 α 2 α 2 n − 1 + κ α 2 α + 1 + κ Polarisation α bei senkrechtem Einfall gegeben ist durch: R ( ) = kann die n komplexe dielektrische Funktion aus Reflexionsmessungen mit Hilfe der Kramers-Kronig Beziehungen ermittelt werden. Eine andere direkte Methode stellt die Ellipsometrie dar. α ω r 0 ∞
P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 55 4.3.1 Polarisationswellen: In diesem Abschnitt wollen wir etwas genauer der Frage nach der Wellenvektorabhängigkeit der bisherigen Betrachtungen nachgehen. Wie bereits im vorigen Abschnitt kurz angedeutet, müssen die elektrischen Größen, die mit der Polarisationswelle der Gitterschwingungen verbunden sind, den Maxwell'schen Gleichungen genügen. In Materie lauten sie: r r r r ∂D ∇ × H = j + ∂t r r r ∂B ∇ × E = − ∂t r r ρ ( ∇D) = r r ( ∇B) = 0 Diese Vektorgleichungen (in Komponenten 12 unabhängige Gleichungen) besitzen jedoch 16 Unbekannte und sind daher ohne Zusatzbedingungen nicht lösbar. Diese Zusatzbedingungen stellen die Materialgleichungen und die Kontinuitätsgleichung dar: r r r r D = εε 0E = ε 0E + P r r B = µ µ 0H r r j = σE rr ∂ρ ∇j + = 0 ∂t Die elektrische Leitfähigkeit ist dabei mit dem Imaginärteil der dielektrischen Funktion verbunden, wie bereits früher angegeben. Im Folgenden wollen wir eine notwendige Bedingung für elektrische Polarisationswellen angeben. Aus den ersten beiden Maxwellgleichungen lässt sich folgende Beziehung ableiten, wenn für magnetisch isotrope Materialien genähert wird: r r r ∂ ∇ × ∇ × E = −µ 0 ∂t r ∂ ⎛ r ∂ = −µµ ⎜ 0 σE + ∂t ⎝ r 0 ∂t ∂ ( ∇ × µ H ) ≅ −µµ ( ∇ × H ) ( ε E + P) Mit Hilfe der Vektoridentität für rot rot erhält man: r r r r ∂ ⎛ r ∂D ⎞ ⎜ ⎟ 0 = −µµ 0 σE + = ∂t ∂t ⎝ ∂t ⎠ r r r r 2 2 ⎞ ∂E ⎛ ∂ E 1 ∂ P ⎞ ⎟ = −µµ − ⎜ + ⎟ 0σ µµ 0ε 0 2 2 ⎠ ∂t ⎝ ∂t ε 0 ∂t ⎠ ( ) ⎟ r r r r r r r r r r 2 2 ∂E ⎛ ∂ E 1 ∂ P ⎞ ∇ × ∇ × E = ∇ ∇E − ∆E = −µµ − ⎜ 0σ µµ 0ε 0 + . 2 2 ∂t ⎝ ∂t ε 0 ∂t ⎠ Die endgültige Beziehung zwischen elektrischem Feld und Polarisierbarkeit erhält man, wenn man noch die 3. Maxwellgleichung mit einbezieht:
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