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P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 52 2 1 ( N − iωΓ − I ) Z 1 − ε . Z T = ε ∞ + ω ε 0 In Komponentenschreibweise: ε ε α , β α , β = ∞ α β 1 Z r Z r + ∑ . 2 2 ε ω − iωγ − ω 0 r r r Die Summe läuft dabei über alle r Eigenmoden des Kristalles für 0 . Es kann ein Koordinatensystem gefunden werden, bei dem die dielektrische Funktion diagonal ist, also α=β. Bei orthorhombischer oder höherer Symmterie stimmt dieses Koordinatensystem mit dem des Kristallsystems überein. Weiters zerfällt dann die Summe über die Eigenmoden in die einzelnen irreduziblen Darstellungen der Kristallsymmterie und es gibt nur ganz bestimmte Eigenmoden die zu einer bestimmten Komponenten α des dielektrischen Tensors beitragen. Es ist auch üblich die dielektrische Funktion, die ja z.B. die Infrarot-Absorption und Reflexion bestimmt, mit Hilfe der dimensionslosen Oszillatorstärken r r k ≈ S α r = 1 ε 0 α ( Z ) r 2 r ω 2 anzuschreiben, wobei von der Diagonalform ausgegangen wird: ε ε α , α α , α = ∞ 2 α ω r Sr + ∑ . 2 2 ω − iωγ − ω r r r Wie bereits früher angegeben hängt die Leitfähigkeit mit der dielektrischen Funktion über die αβ αβ σ ( ω) = i ωε 0 1 − ε ( ω) zusammen. Man erhält: Beziehung: ( ) σ ωε α β α , β iωZ r Z r ( 1 − ε ) − ∑ 2 − i − α , β = i 0 ∞ 2 r ω r ωγ r ω Bei der Ableitung der dielektrischen Funktion wurde aus Einfachheit der Wellenvektor bei verschwindenden Werten angesetzt. Dies ist eine vernünftige Näherung in Bezug auf die Eigenmoden des Kristalles, da die optischen Phononen bei kleinem Wellenvektor kaum Dispersion besitzen. Aber dennoch ist es unzulänglich, einfach die Ortsabhängigkeit der elektrischen Felder, für die ja die Maxwell'schen Gleichungen erfüllt sein müssen, komplett zu vernachlässigen. Aus den Maxwell'schen Gleichungen folgt unmittelbar die Wellengleichung für elektromagnetische Wellen, welche hier für isotrope, nicht absorbierende Medien angenommen wird: (Genaueres im nächsten Abschnitt) r r 2 ∂ D( ω, k ) r r r r r r r µµ 0 = −∇ × ∇ × E( ω, k ) = ∆E( ω, k ) − ∇ ∇ 2 ∂t r r r ( E( ω, k ) ) r r r r r mit D( ω , k ) = ε 0ε ( ω, k ) E( ω, k ) . Bei ebenen Wellen zeigt der Gradient in die Richtung des Wellenvektors, wodurch sich die Wellengleichung für isotrope Medien vereinfacht:
P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 53 r k 2 r r r 2 ( kE ) = ω εε µµ E r r E − k . 0 0 r r ( E) = 0 Für Transversalwellen kTO mit r kTO liefert dies die bekannte Wellengleichung mit der 1 Ausbreitungsgeschwindigkeit v = εε 0µµ 0 ( LO, LO ) = 0 k r , während für Longitudinalwellen k LO die linke r Seite verschwindet wodurch ε ω sein muss. Dadurch bekommen die Nullstellen der dielektrischen Funktion die Bedeutung der Frequenzen von Longitudinalmoden. Dadurch kann nun die dielektrische Funktion in eine weitere bekannte Form umgeschrieben werden: ε αα αα = ε ∞ α r ∏ LO 2 2 ( ω α ) − ω r TO 2 2 ( ω α ) − ω r . Diese faktorisierte Form erhält man, wenn man den Summenausdruck der dielektrischen Funktion auf gemeinsamen Nenner bringt und das Polynom im Zähler durch seine Nullstellen ausdrückt. Der zunächst unter Vernachlässigung einer Dämpfung abgeleitete Ausdruck kann dann wieder phänomenologisch mit Dämpfung erweitert werden, wie es etwas später im Kapitel der Polaritonen gezeigt wird. Der Index r α zeigt dabei an, dass nur über jene Eigenmoden zu multiplizieren ist, welche zur Polarisation α beitragen. Daraus kann leicht die bekannte Beziehung für die statische Dielektrizitätskonstante gewonnen werden: (Lydanne- Sachs-Teller-Relation) ε αα ( ) ( ) 2 LO 2 ω α r TO ω α αα ( ω = 0) = ε ∞ ∏ . α r r Die früher eingeführten Oszillatorstärken können dann ebenfalls durch TO und LO Frequenzen ausgedrückt werden: S LO 2 TO ( ω α ) − ( ω α ) r r TO 2 ( ω α ) r ε α α r p αα α = ∞ ≠ r 2 ∏ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 TO 2 LO 2 ω α − ω α r p TO LO ω α − ω α r Durch die unitäre Transformation, welche die effektiven Ladungsparameter aus den Punktladungen an den Plätzen der Kernladungen gebildet hat, kann folgende Summenregel abgeleitet werden: α ∑ ( Z r ) = ∑ r 2 2 1 b, α , α V E L M b b . Dabei wurde angenommen, dass Diagonalität in α und β vorliegt. Die dielektrische Funktion ist somit ein komplexer Tensor der von der Frequenz abhängt. Die entsprechenden Real- und Imaginärteile erhält man: p .
Seite 1 und 2: P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im
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