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P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 52<br />
2 1<br />
( N − iωΓ<br />
− I ) Z<br />
1 −<br />
ε .<br />
Z T<br />
= ε ∞ +<br />
ω<br />
ε 0<br />
In Komponentenschreibweise:<br />
ε<br />
ε<br />
α , β α , β<br />
= ∞<br />
α β<br />
1 Z r Z r<br />
+ ∑ .<br />
2<br />
2<br />
ε ω − iωγ<br />
− ω<br />
0<br />
r r r<br />
<strong>Di</strong>e Summe läuft dabei über alle r Eigenmoden des Kristalles für 0 . Es kann ein<br />
Koordinatensystem gefunden werden, bei dem die dielektrische Funktion diagonal ist, also<br />
α=β. Bei orthorhombischer oder höherer Symmterie stimmt dieses Koordinatensystem mit<br />
dem des Kristallsystems überein. Weiters zerfällt dann die Summe über die Eigenmoden in<br />
die einzelnen irreduziblen Darstellungen der Kristallsymmterie und es gibt nur ganz<br />
bestimmte Eigenmoden die zu einer bestimmten Komponenten α des dielektrischen Tensors<br />
beitragen. Es ist auch üblich die dielektrische Funktion, die ja z.B. die Infrarot-Absorption<br />
und Reflexion bestimmt, mit Hilfe der dimensionslosen Oszillatorstärken<br />
r r k ≈<br />
S<br />
α<br />
r =<br />
1<br />
ε<br />
0<br />
α ( Z )<br />
r<br />
2<br />
r<br />
ω<br />
2<br />
anzuschreiben, wobei von der <strong>Di</strong>agonalform ausgegangen wird:<br />
ε<br />
ε<br />
α , α α , α<br />
= ∞<br />
2 α<br />
ω r Sr<br />
+ ∑ .<br />
2<br />
2<br />
ω − iωγ<br />
− ω<br />
r r r<br />
Wie bereits früher angegeben hängt die Leitfähigkeit mit der dielektrischen Funktion über die<br />
αβ<br />
αβ<br />
σ ( ω)<br />
= i ωε 0 1 − ε ( ω)<br />
zusammen. Man erhält:<br />
Beziehung: ( )<br />
σ<br />
ωε<br />
α β<br />
α , β iωZ<br />
r Z r<br />
( 1 − ε ) − ∑ 2<br />
− i −<br />
α , β<br />
= i 0 ∞<br />
2<br />
r ω r ωγ r ω<br />
Bei der Ableitung der dielektrischen Funktion wurde aus Einfachheit der Wellenvektor bei<br />
verschwindenden Werten angesetzt. <strong>Di</strong>es ist eine vernünftige Näherung in Bezug auf die<br />
Eigenmoden des Kristalles, da die optischen Phononen bei kleinem Wellenvektor kaum<br />
<strong>Di</strong>spersion besitzen. Aber dennoch ist es unzulänglich, einfach die <strong>Ort</strong>sabhängigkeit der<br />
elektrischen Felder, für die ja die Maxwell'schen Gleichungen erfüllt sein müssen, komplett<br />
zu vernachlässigen. Aus den Maxwell'schen Gleichungen folgt unmittelbar die<br />
Wellengleichung für elektromagnetische Wellen, welche hier für isotrope, nicht<br />
absorbierende Medien angenommen wird: (Genaueres im nächsten Abschnitt)<br />
r r<br />
2<br />
∂ D(<br />
ω,<br />
k ) r r r r r r r<br />
µµ 0 = −∇<br />
× ∇ × E(<br />
ω,<br />
k ) = ∆E(<br />
ω,<br />
k ) − ∇ ∇<br />
2<br />
∂t<br />
r r r<br />
( E(<br />
ω,<br />
k ) )<br />
r r r r r<br />
mit D(<br />
ω , k ) = ε 0ε ( ω,<br />
k ) E(<br />
ω,<br />
k ) . Bei ebenen Wellen zeigt der Gradient in die Richtung des<br />
Wellenvektors, wodurch sich die Wellengleichung für isotrope Medien vereinfacht: