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P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 50 4.3 Gitterdynamik im elektrischen Feld: Die bisher entwickelte Gitterdynamik soll unter Berücksichtigung von Ladungen an den Plätzen der Kernen (Kernladungen) und einem angelegten elektrischen Feld erweitert werden. Der Fall, dass sich die Kernladung während der Bewegung ändert wird nicht berücksichtigt; es werden starre Ladungen angenommen (rigid ion model). Allerdings kann auch der Fall der sich während der Schwingung ändernden Ladung in Form einer effektiven Ladung (über die Schwingung gemittelt) in diesem rigid ion model näherungsweise behandelt werden. Der Hamiltonoperator schreibt sich dann: Hˆ = ker n 1 2 r ( R) = ∑ Pr 1 2 M r P Pr t , b, α t , b, αi r t , b, α b r r r 1 1 1 T [ M ] P + 2 RV2R − RLE − 2 ∫ ε 0E [ ε ∞ − I ] + 1 2 ∑ k r r r r r r t , b, α , t ', b', α ' t , b, α , t ', b', α ' R V R r r r t , b, α t ', b', α ' − ∑ r EdV R L r r t , b, α b, α , β t , b, α , β E β ( R r t , b, α ) − 1 2 ∫ V r ε E 0 T r [ ε − I ] EdV Die Ladungen Lb,α,β für die β-Komponente des elektrischen Feldes des b-ten Atoms in der Basis mit Auslenkung in Richtung α (im einfachen rigid ion model sind die Ladungen für alle Auslenkungen gleich und α=β) werden dabei in der Ladungsmatrix L zusammengefasst. Der zusätzliche Integralterm berücksichtigt eine mögliche Polarisierung der Materie im elektrischen Feld durch elektronische Beiträge, die summarisch mit ε∞ beschrieben wird. Das 0 äußere elektrische Feld kann in seiner Ortsverteilung als ebene Welle E Rr β ( ) = E e t , b, α β angesetzt werden. Im weiteren wird auch angenommen, dass die Wellenlänge des elektrischen Feldes sehr groß gegenüber der Elementarzelle ist (optische Felder) und daher über die Elementarzelle als konstant angesehen werden kann. Mit Hilfe der Masse-gewichteten Koordinaten und der Fourier-Transformation erhalten wir: Hˆ = ker n ∑ r k ~ r ( R) = r t ⎧ ⎨ ⎩ ⎧ ~ &r ~ &r 1 T * 2 R r R r ⎨ + k k ⎩ 1 2 ~ r ~ r T Pr Pr + ~ r r ~ r T * R r D( k ) R r − ~ r ~ ~ r T Rr KRr + 1 1 1 ∑ 2 t t 2 t t 2 ∑r δ k k ~ r ~ ~ r T Rr K rRr t r t + δ ~ r ~ r r r T 0 ' ⎫ N R r LE δ ( k + k ) − k ⎬ ⎭ δ ~ r ~ r T 0 − Rr LE e t 1 2 ∫ V r ε E 0 r 'r ik t T ⎫ ⎬ − ⎭ 1 2 ∫ V r ε E r 0 [ ε − I ] [ ε − I ] EdV = Hˆ ( k ) Die neue Ladungsmatrix L ~ besitzt dabei massegewichtete Komponenten ∞ T ∞ ker n ~ L r ∞ r EdV = L r r ikR b, α , β b, α , β = . M b Weiters wurde auch noch zwischen Zeilen- und Spaltenvektoren mit Hilfe des Symbols der Transponierten unterschieden um sich einer noch genaueren Matrixschreibweise zu bedienen. Wie zu sehen ist, liefert das äußere elektrische Feld nur einen Beitrag bei Phononen, welche den gleichen Wellenvektor besitzen. Im weiteren wird auf das Volumen V=NVE normiert, wodurch auf die Energiedichte übergegangen wird. Gleichzeitig gehen wir vom Hamiltonoperator auf die Hamiltonfunktion über: r Hkern( k) NV E ⎧ &r &r r r r r r r r ⎫ r 1 1 ~ ~ * T = Φ = ∑⎨ RrRr 1 1 ~ ~ * 1 ~ ~ 0 ' 1 + RrD k Rr − RrLE δ k + k ⎬− k k k k k ∫ε E ε r 2 2 ( ) ( ) 0 ∞ k ⎩ NVE NVE VE N ⎭ 2V V [ − I] r EdV .
P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 51 r 1 ~ r Durch Übergang auf die Normalkoordinaten Q r = U rR r , die im Gegensatz zu früher k k k NV noch auf das Volumen normiert sind, erreichen wir die gewünschte Diagonalisierung. ∑ &r T &r r r r r r r * T 2 * T 0 1 1 T { Q r Q r 1 + Q r [ k ] Q r } − Q r r 2 2 ω ) ZE − ε 0E [ ε − I ] Φ = r k k k k k = −k ∞ 2V k E ∫ V r EdV ( ' . 1 ~ Die Matrix der effektiven Ladungsparameter Z r = U rL beschreibt dabei das polare k k V Verhalten des Kristalles, trägt allerdings nur bei Phononen mit dem Wellenvektor des von außen angelegten elektrischen Feldes bei. Wir wollen hier nicht die quantenmechanische Lösung anstreben, sondern werden mit Hilfe des Hamiltonformalismusses die klassischen Bewegungsgleichungen anschreiben. Die klassische Beschreibung liefert die gleichen Eigenwerte und Eigenvektoren wie die quantenmechanische Behandlung, allerdings nicht die Quantisierung der Energiezustände und die Wellenfunktionen. Für einen k r -Vektor erhalten wir: r r r r r 2 0 ' [ ω ( k ) ] Q r = Z rE ( k k ) & r v + δ + Qk k k Nun wollen wir uns auf optische elektrische Felder beschränken (im Gegensatz zur früheren r r r ' Behandlung der Röntgenbeugung) und daher den Limes k = −k ≈ 0 betrachten und im weiteren den Index des Wellenvektors zur Vereinfachung weglassen. Weiters wollen wir den Vorteil der klassischen Beschreibung nützen und eine phänomenologische Dämpfung der Oszillatoren einführen, um der Beschreibung experimenteller Ergebnisse gerecht zu werden. Um jedoch nicht die bereits diagonalisierte Form der Bewegungsgleichungen zu zerstören, wird dies mit der Diagonalmatrix Γ durchgeführt. Dadurch lautet die entsprechende Bewegungsgleichung für verschwindend kleine Wellenvektoren: & &r r r Q Q NQ ZE r + Γ + = 0 r r 2 Dabei haben wir die Diagonalmatrix der Frequenzquadrate = [ ( k ≈ 0) ] N ω mit dem Symbol N versehen, welches jetzt, wo die Anzahl der Elementarzellen implizit in die Normalkoordinate gesteckt wurde, wieder verfügbar ist. Nehmen wir ein zeitlich r r 0 00 iωt oszillierendes elektrisches Feld E = E e an, so erhalten wir für die Auslenkungsamplitude: r 0 − Q r = ω ω . 2 1 00 ( N − i Γ − I ) ZE Mit dieser Schwingung ist eine elektrische Polarisation verbunden: r P ∂Φ r ∂E r ε r 0 T 2 −1 0 0 0 ( ε − I ) E = Z ( N − iωΓ − ω I ) ZE + ε ( ε − I ) E = ε ( ε − I ) E T = − = Z Q + 0 0 ∞ 0 ∞ Die Matrix der frequenzabhängigen dielektrischen Funktion erhält man zu: E r r 0 r
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