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P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 50
4.3 Gitterdynamik im elektrischen Feld:
Die bisher entwickelte Gitterdynamik soll unter Berücksichtigung von Ladungen an den
Plätzen der Kernen (Kernladungen) und einem angelegten elektrischen Feld erweitert werden.
Der Fall, dass sich die Kernladung während der Bewegung ändert wird nicht berücksichtigt;
es werden starre Ladungen angenommen (rigid ion model). Allerdings kann auch der Fall der
sich während der Schwingung ändernden Ladung in Form einer effektiven Ladung (über die
Schwingung gemittelt) in diesem rigid ion model näherungsweise behandelt werden. Der
Hamiltonoperator schreibt sich dann:
Hˆ
=
ker n
1
2
r
( R)
=
∑
Pr
1
2
M
r
P
Pr
t , b,
α t , b,
αi
r
t , b,
α b
r
r
r
1 1
1 T
[ M ] P + 2 RV2R
− RLE
− 2 ∫ ε 0E
[ ε ∞ − I ]
+
1
2
∑
k
r
r
r r
r r t , b,
α , t ', b',
α '
t , b,
α , t ', b',
α '
R
V
R
r
r r
t , b,
α t ', b',
α '
−
∑
r
EdV
R
L
r
r t , b,
α b,
α , β
t , b,
α , β
E
β
( R
r
t , b,
α
) −
1
2
∫
V
r
ε E
0
T
r
[ ε − I ] EdV
Die Ladungen Lb,α,β für die β-Komponente des elektrischen Feldes des b-ten Atoms in der
Basis mit Auslenkung in Richtung α (im einfachen rigid ion model sind die Ladungen für alle
Auslenkungen gleich und α=β) werden dabei in der Ladungsmatrix L zusammengefasst. Der
zusätzliche Integralterm berücksichtigt eine mögliche Polarisierung der Materie im
elektrischen Feld durch elektronische Beiträge, die summarisch mit ε∞ beschrieben wird. Das
0
äußere elektrische Feld kann in seiner Ortsverteilung als ebene Welle E Rr
β ( ) = E e
t , b,
α β
angesetzt werden. Im weiteren wird auch angenommen, dass die Wellenlänge des elektrischen
Feldes sehr groß gegenüber der Elementarzelle ist (optische Felder) und daher über die
Elementarzelle als konstant angesehen werden kann. Mit Hilfe der Masse-gewichteten
Koordinaten und der Fourier-Transformation erhalten wir:
Hˆ
=
ker n
∑
r
k
~ r
( R)
=
r
t
⎧
⎨
⎩
⎧ ~ &r ~ &r
1 T *
2 R r R r ⎨ + k k
⎩
1
2
~ r ~ r
T
Pr
Pr
+
~ r r ~ r
T
*
R r D(
k ) R r −
~ r ~ ~ r
T
Rr
KRr
+
1
1
1
∑ 2 t t 2 t t 2 ∑r
δ
k
k
~ r ~ ~ r
T
Rr
K rRr
t
r
t + δ
~ r ~ r r r
T 0
' ⎫
N R r LE
δ ( k + k ) −
k
⎬
⎭
δ
~ r ~ r
T 0
− Rr
LE
e
t
1
2
∫
V
r
ε E
0
r
'r
ik
t
T
⎫
⎬ −
⎭
1
2
∫
V
r
ε E
r
0
[ ε − I ]
[ ε − I ] EdV
= Hˆ
( k )
Die neue Ladungsmatrix L ~ besitzt dabei massegewichtete Komponenten
∞
T
∞
ker n
~
L
r
∞
r
EdV
=
L
r r
ikR
b,
α , β
b,
α , β = .
M b
Weiters wurde auch noch zwischen Zeilen- und Spaltenvektoren mit Hilfe des Symbols der
Transponierten unterschieden um sich einer noch genaueren Matrixschreibweise zu bedienen.
Wie zu sehen ist, liefert das äußere elektrische Feld nur einen Beitrag bei Phononen, welche
den gleichen Wellenvektor besitzen.
Im weiteren wird auf das Volumen V=NVE normiert, wodurch auf die Energiedichte
übergegangen wird. Gleichzeitig gehen wir vom Hamiltonoperator auf die Hamiltonfunktion
über:
r
Hkern(
k)
NV
E
⎧ &r &r r r r r r r r ⎫ r
1 1 ~ ~ *
T
= Φ = ∑⎨
RrRr
1 1 ~ ~ * 1 ~ ~ 0 ' 1
+ RrD
k Rr
− RrLE
δ k + k ⎬−
k k
k k
k
∫ε
E ε
r 2
2 ( )
( )
0 ∞
k ⎩ NVE
NVE
VE
N
⎭ 2V
V
[ − I]
r
EdV
.