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P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 48
Die mathematische Formulierung erfolgt im sogenannten Su-Schriefer-Heeger-Modell (SSH-
Modell), wobei die einfache tight-binding Beschreibung der Elektronen durch eine
Abstandsabhängigkeit des Hopping-integrales erweitert wird.
+ + ⎛ ∂t
⎞ + +
H elekt.
= −∑
t(
r)
( ci
ci+
1 + ci+
1ci
) ≈ −∑
⎜t
0 + ( ui
− ui+
1)
+ ...... ⎟(
ci
ci+
1 + ci+
1ci
) .
i
i ⎝ ∂r
⎠
Der gesamt Hamiltonoperator umfasst nicht nur den elektronischen Teil sondern auch die
Energieanteile der Kerne:
M 2 f
2 ⎛ ∂t
⎞ + +
H SSH = ∑ u&
i + ∑ ( ui
− ui+
1)
− ∑⎜
t0
+ ( ui
− ui+
1)
⎟(
ci
ci+
1 + ci+
1ci
) .
i 2 i 2
i ⎝ ∂r
⎠
Geht man vom diskreten Index i auf eine kontinuierliche Variable x über, so erhält man
folgende solitäre Lösung für die Kernauslenkungen:
⎛ x − x0
⎞
u ( x)
= ∆ tanh⎜
⎟ .
⎝ ξ ⎠
Man erkennt, dass der Übergang von der +∆ zur -∆ Phase nicht abrupt sondern mit einer
gewissen durch ξ bestimmten Breite erfolgt. (Bei den Polymeren ist dies ein paar
Doppelbindungen.) Die genaue Lage x0 wo dieser Übergang stattfindet ist dabei nicht fixiert.
Das Gap im elektronischen Spektrum erhält man mit:
1
∂t
−
α
ε gap = 8 ∆ = 8t0e
.
∂r
Dabei wurde ebenfalls eine dimensionslose Elektron-Phonon-Wechselwirkungskonstante α
definiert die jedoch unterschiedlich zur früheren Größe λ ist:
2
⎛ ∂t
⎞
4
∂t
⎜ ⎟ aλ
α
⎝ ∂r
=
⎠
≡ ∂r
.
πft0
t0
2π
Die Amplitude des Solitons ergibt sich zu:
1
t −
0 α
∆ = e .
∂t
∂r
Solitonen sind daher Phasengrenzen oder Kink's. Interessant werden sie, wenn man versucht
ihnen Ladung und Spin zuzuordnen. Da im Übergangsbereich lokal ja nur die
Peierlsverzerrung aufgehoben ist, ist leicht einzusehen, dass dieses Soliton keine Ladung
0
besitzt, also neutral ist und mit S bezeichnet wird. Durch die lokale Aufhebung der
Peierlsverzerrung bildet sich jedoch wieder das ursprüngliche elektronische Energieniveau an
der Fermienergie aus, dass jedoch nur lokalen Charakter hat. Dieses ist mit einem Elektron
besetzt (ungerade Anzahl an Elektronen auf der Kette strenggenommen vorausgesetzt) und
gibt damit dem neutralen Soliton den Spin 1/2. Dieses Elektron kann leicht entfernt werden
+
0
und liefert dann ein Spin-loses S ; oder es wird das chemisch gesehene Radikal des S mit
−
einem weiteren Elektron abgesättigt, was zu einem Spin-losen S führt. Jedenfalls ist dies
eine einfache Art spinlose bzw. ganzzahlige (also bosonische) Ladungsträger zu erzeugen.
Die damit verbundene Hoffnung auf eine Supraleitung bei besonders hohen Temperaturen
konnte allerdings bis jetzt nicht erfüllt werden.
Zu jedem Soliton gibt es auch das Anti-Teilchen, das Anti-Soliton 0
S , das in unserem
einfachen Beispiel das Soliton selbst ist. (Beim Beispiel der zick-zack-Kette ist dies
allerdings nicht der Fall.) Beim Anti-Teilchen wird einfach der Kink durch den
entsprechenden weiteren Kink wieder aufgehoben.