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P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 47
Bindungsabstände eher Einfachbindungen entsprechen. Man nennt diesen Vorgang auch
Dimerisierung, da offenbar nun eine 2-atomige lineare Kette vorliegt, die aus
Kohlenstoffpaaren gebildet wird. Bei den kurzen Bindungsabständen ist die Dichte der π-
Elektronen stärker als bei den langen Bindungsabständen, was der Ladungsdichtewelle
entspricht.
Ein einfaches Beispiel für den Mott-Hubbard-Isolator findet man bei den
Hochtemperatursupraleitern. Deren bestimmendes Strukturmerkmal sind quadratisch
koordinierte CuO2 Ebenen. Kupfer liegt dabei näherungsweise als zweifach positiv geladenes
Ion vor (Cu 2+ ), wodurch die äußeren Elektronen eine 3d 9 Konfiguration aufweisen (also ein
fehlendes Elektron in der 3d Schale). Um nun ein weiteres Elektron aus der 3d Schale zu
entfernen (bzw. ein weiteres Loch hinzuzufügen) und zur 3d 8 Konfiguration überzugehen
kostet Energie, welche mit dem Hubbard U (bei den Hochtemperatursupraleitern ca. 10eV)
beschrieben wird. Durch diese Energie wird das Hopping des Loches von einem Kupferplatz
zum nächsten (Hopping-Integral t ca. 1eV) unterbunden, die Löcher der 3d 9 Konfiguration
werden auf ihren Plätzen lokalisiert. Da das Loch einen Spin 1/2 besitzt, liegen lokalisierte
magnetische Momente vor, welche bei den Hochtemperatursupraleitern zur Ausbildung eines
Antiferromagneten führen.
In beiden Fällen (Polymere und Hochtemperatursupraleiter) wird der Isolator-Grundzustand
durch Dotieren (Einbau von Fremdatomen) in einen metallischen Zustand übergeführt,
welcher bei den Polymeren elektrisch leitenden Kunststoffe und bei den
Hochtemperatursupraleitern, Supraleiter mit interessanten Eigenschaften bildet.
4.2.2 Solitonen:
Aus der mathematischen Behandlung von nichtlinearen Differenzialgleichungen ist bereits
bekannt, dass neben den gewöhnlichen Lösungen auch noch sogenannte solitäre Lösungen
existieren. In der klassischen Physik kann man diese z.B. in der Hydrodynamik beobachten.
Bugwellen von Schiffen in engen Kanälen können zum Beispiel noch lange nach dem Schiff
als losgelöste stabile Gebilde beobachtet werden. Verantwortlich dafür sind Nichtlinearität
und Dispersion der Wellenausbreitung von Oberflächenwellen in Wasser, welche solitäre
Lösungen beinhalten. Besondere Aufmerksamkeit jedoch haben sie bei der Beschreibung von
Peierls-Systemen wie z.B. den Polymeren erlangt. Dort besteht die Möglichkeit, dass nicht
genau definiert ist, in welcher Weise der Peierlsübergang stattfindet und somit zu einem
energetisch entarteten Grundzustand führt (gemeint sind mehrere Möglichkeiten der
Überstruktur, welche den Isolator ausbilden). Beim einfachen Beispiel der linearen
Kohlenstoffkette heißt dies, dass entweder sich die Reihenfolge der Bindungsabstände kurz -
lang - kurz - ..etc. oder lang - kurz - lang - ... etc. mit gleicher Wahrscheinlichkeit und
gleicher Grundzustandsenergie ausbilden können. Beschreibt man die Verschiebung aus der
äquidistanten Anordnung zur Peierls-verzerrten Anordnung am i-ten Platz mit der
i
i
Auslenkung ui, so erhält man entweder u i = ( − 1)
( + ∆)
oder ui = ( − 1 ) ( − ∆)
. Beschreibt man
die Grundzustandsenergie als Funktion der Verzerrung u mit V(u), so stellt dies ein
Doppelwell-Potential dar mit zwei gleichwertigen Minima bei u=+∆ und u=-∆. Wachsen nun
zwei verschiedene Peierls-verzerrte Ketten zusammen, so kommt es am Übergang von der +∆
zur -∆ Kette zu einer Art Phasengrenze, welche sich als Soliton beschreiben lässt. Bevor dies
etwas mathematischer untermauert wird ist auch anschaulich klar, dass diese Phasengrenze
nicht auf der Kette fixiert ist sondern wie ein Teilchen frei beweglich ist, also Impuls und
kinetische Energie haben sollte.