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P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 46
lokalen Dichte-Näherung berücksichtigt. Dabei werden mögliche
Doppelbesetzungen von Elektronen nicht mehr richtig wiedergegeben,
wie sie z.B. bei Atomen durch die Hund´schen Regeln beschrieben
werden. Im Hubbard Modell versucht man solche örtlichen
Mehrfachbesetzungen mit Elektronen durch ein effektives Coulomb-
Potential U energetisch ungünstiger zu gestalten. Im einfachsten Fall (1-
Band-Hubbard Modell) lautet der Hamiltonoperator:
+
H = t∑
ci
c j + U∑
nini
.
ij
i
Der erste Term ist dabei ein einfaches Bandstrukturmodell (tight binding)
während der 2. Term Doppelbesetzungen am Ort i energetisch mit U
korrigiert. Ist nun U genügend groß gegenüber t (Hopping-Integral)
werden alle Elektronen an ihren Plätzen i festgehalten, sie lokalisieren. In
der Bandstruktur ergibt sich ein einfach besetztes dispersionsloses Band
(unteres Hubbard Band), welches durch die Energie U von einem
höheren unbesetzten dimensionslosen Band (oberes Hubbard-Band)
getrennt ist. Durch das Pauliprinzip sind die einfach besetzten Bänder im
allgemeinen Spin-polarisiert, d.h. z.B. im unteren Hubbard Band nur
Spin-up Zustände und im oberen Hubbard Band die entsprechenden
Spin-down Zustände. Damit ergibt sich im Hubbard-Modell bereits ein
natürlicher Übergang zu den magnetischen Eigenschaften von Materie.
Da das Hopping-Integral t aus dem Überlapp der Wellenfunktionen
gebildet ist und dadurch sehr stark mit kürzerem atomaren Abstand
anwächst ergibt sich auf natürliche Weise der von Mott bereits
gefundene Zusammenhang, dass bei kleiner werdender Gitterkonstante
man einen Isolator-Metall-Übergang findet.
Anmerkung: Ähnlich wie bei der Peierlsverzerrung ist auch der Mott-
Hubbard-Effekt in niedrig dimensionalen Systemen oft stärker
ausgeprägt.
Meist treten Peierls-Verzerrung und Mott-Hubbard-Effekt nicht völlig getrennt sondern in
Kombination auf. Nur durch das Vorliegen eines Gaps an der Fermifläche kann noch nicht
auf das Überwiegen eines der beiden Mechanismen geschlossen werden. Während für den
Peierls-Isolator eine Verzerrung der Gitterstruktur notwendig ist, kennzeichnet den Mott-
Isolator meist eine ausgeprägte Spin-Struktur. Mit der reinen Peierlsverzerrung ist im
allgemeinen eine geänderte Elektronenverteilung verbunden, die sich als eine mit der
Überstruktur einhergehenden Ladungsverteilung (Ladungsdichtewelle LDW oder "charge
density wave" CDW) bemerkbar macht. Liegt zusätzlich noch ein großes Hubbard U vor, so
kann es zu einer Spinpolarisierung kommen und anstelle der CDW liegt eine Spin-Dichte-
Welle oder Spin density wave SDW vor.
Beispiele: Ein einfaches Beispiel für einen Peierls-Isolator findet man bei den Polymeren,
welche man sich in ihrer einfachsten Struktur als eine lineare Kette von Kohlenstoffen mit
Einfach- und Doppelbindungen vorstellen kann. Im Fall von gleichem Abstand der
Kohlenstoffatome (1-atomige lineare Kette) sind die π-Elektronen, welche die
Doppelbindungen bilden gleichmäßig über die Kette verteilt und bilden ein halb gefülltes π-
Band, also ein Metall. Durch die Peierlsverzerrung bildet sich eine Überstruktur mit doppelter
Gitterkonstante aus, welche kurze und lange Bindungsabstände alternierend erzeugt. In den
kurzen Bindungen ist der Doppelbindungscharakter stärker, während die langen