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P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 45<br />
<strong>Di</strong>es produziert ein Gap der elektronischen Anregungen bei kF der Größe<br />
λaf∆. Das Gleichgewicht ist erreicht bei der Bedingung:<br />
k<br />
⎛<br />
F<br />
∂<br />
1 ⎞<br />
⎜ E . ( ) ⎟<br />
Verzerr +<br />
= 0<br />
∂∆<br />
⎜ 2 ∫ ε k dk .<br />
⎟<br />
⎝<br />
kF<br />
−kF<br />
⎠<br />
<strong>Di</strong>es ist näherungsweise durch die Beziehung:<br />
2<br />
−h<br />
k Fπ<br />
2<br />
−1<br />
2<br />
F ma λ f<br />
N ( ε F ) V<br />
2<br />
4h k<br />
2<br />
λaf∆<br />
≈ e ≈ 8We<br />
m<br />
gegeben, wobei durch die Schreibweise mit Hilfe der Bandbreite<br />
2 2<br />
h kF<br />
2m<br />
W = , die Zustandsdichte an der Fermienergie N( ε F ) = und<br />
2<br />
2m<br />
h kFπ<br />
einem effektiven Elektron-Elektron-Wechselwirkungspotential<br />
2 2<br />
a λ f<br />
V = die Analogie mit der BCS-Theorie der Supraleitung<br />
2<br />
aufgezeigt wird.<br />
Anmerkungen: Der generelle Effekt der Aufhebung einer Entartung<br />
durch Symmetrieerniedrigung ist als Jahn-Teller Effekt in der Physik<br />
bekannt. (z.B. Aufspaltung von entarteten Atomorbitalen, d, f-Orbitale,<br />
durch Gittersymmetrie.) <strong>Di</strong>e Peierlsverzerrung ist ein Spezialfall davon.<br />
Bei genügend tiefer Temperatur sollte also ein eindimensionales Metall<br />
nicht existieren. Bei endlicher Temperatur, wenn genügend Elektronen<br />
über das Peierls –Gap thermisch aktiviert sind, wird die Energiebilanz zu<br />
Ungunsten der Peierlsverzerrung verändert und ab einer<br />
charakteristischen Temperatur (dem Peierls-Übergang) wird die<br />
Verzerrung aufgehoben (Phasenübergang).<br />
Nicht nur die elektronischen Energieniveaus werden durch die<br />
Wechselwirkung mit dem Gitter verändert, sondern auch die Energien<br />
der Gitterschwingungen. So beobachtet man auch bei Temperaturen über<br />
dem Peierlsübergang eine Energieerniedrigung des Phonons bei 2kF<br />
(Kohn Anomalie). <strong>Di</strong>eses „weich“ werden der Gittermode (ähnlich der<br />
soft modes bei ferroelektrischen Phasenübergängen) kündigt den<br />
Peierlslübergang an. Bei Einsetzen der Peierls-Verzerrung ist die<br />
Frequenz dieser Gittermode gleich Null entsprechend einer statischen<br />
Verzerrung.<br />
Mott-Hubbard-Isolator: Eine frühe Überlegung von Mott zeigte noch einen weiteren<br />
Mechanismus der verhindert, dass sich ein Metall ausbildet. Eine<br />
Anordnung von H-Atomen mit einem Atom pro Elementarzelle sollte ein<br />
Metall mit einem halbgefüllten Band liefern. Tatsächlich liegt aber oft<br />
ein Isolator auch ohne Peierls-Verzerrung vor. Der Grund liegt darin,<br />
dass wenn die H-Atome genügend weit voneinander entfernt sind (große<br />
Gitterkonstante) offenbar nur wechselwirkende H-Atome vorliegen die<br />
elektrisch isolierend sind. Erst bei genügend kleinem Gitterabstand kann<br />
sich die Bandstruktur ausbilden und es liegt ein Metall vor. Der kritische<br />
Gitterabstand ist dabei ca. 4-5 mal der Bohr´sche Radius. Eine genauere<br />
Erklärung kann erst innerhalb des auf Hubbard zurückgehenden Modells<br />
gefunden werden. In der üblichen Bandstrukturrechnung wird die<br />
Elektron-Elektron-Wechselwirkung nur in der mean-field oder in der