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P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 44 Fermifläche über ein Phonon (dazu benötigt man ein Phonon mit Wellenvektor 2kF) so spalten die entarteten Zustände in einen Zustand mit niedriger und einen mit höherer Energie auf. Da nur der niedrigere Energiezustand mit Elektronen besetzt wird erhält man einen Energiegewinn auf der elektronischen Seite. Dem steht eine Verzerrungsenergie auf der phononischen Seite gegenüber. Bei vollständigem "nesting" der Fermifläche (d.h. möglichst ein genau definierter Wellenvektor koppelt alle Zustände der Fermifläche, was in einer Dimension automatisch gegeben ist) erhält man immer einen Energiegewinn bei einer Elektron-Phonon-Kopplung ungleich Null. Die Aufspaltung der Zustände an der Fermifläche bedeutet den Übergang zu einem Isolator, wodurch das Metall instabil geworden ist. Für den Fall der einatomigen linearen Kette können wir die Energiebilanz pro Einheitszelle einfach abschätzen. Für die örtlich gemittelte Verzerrungsenergie mit Auslenkung ∆ erhält man: 1 2 1 4 2 2 ( 1− cos( 2k x) ) = ∆ 2 EVerzerr . = f∆ F f Für die Elektronen nehmen wir an, dass wir sie als quasi "freie" Teilchen mit der effektiven Masse m beschreiben können, welche das periodische Gitterpotential V(x) und das durch die Verzerrung hervorgerufene effektive Potential spüren, das mit Hilfe der dimensionslosen Elektron- Phonon-Kopplungskonstante λ proportional zur Verzerrung ist. Die Hamiltonfunktion lautet dann: 2 p = + V ( x) + aλ f∆( 1− cos( 2k x) ) . 2m H F Die Verzerrungspotentiale für Phononen und Elektronen werden üblicherweise in der ursprünglichen Translationssymmetrie beschrieben. Dies bedeutet, dass in einer Fourierentwicklung dieser Potentiale nur "erlaubte" Wellenvektoren ( k n n = 2π Na ) vorkommen. Ist dies möglich, so spricht man von einer kommensurablen Verzerrung, ansonsten von einer inkommensurablen. Im unendlichen Limes bedeutet inkommensurabel auch, dass keine gemeinsame Elementarzelle gefunden werden kann, welche die ursprüngliche Periodizität und die Verzerrung beschreiben kann. Mathematisch bedeutet dies, dass ursprüngliche Periodizität und Verzerrung in keinem rationalen Verhältnis stehen. Physikalisch von Bedeutung ist jedoch nur die Unterscheidung, ob die für die gemeinsame Beschreibung notwendige Elementarzelle größer als eine der physikalisch relevanten Längen (z.B. Koherenzlänge) ist. Beschränken wir uns auf nur eine Fourierkomponente mit 2kF so erhalten wir als Lösungen für die Elektronen: 2 h ε ( k) = 2m 2 2 ( k + k ) F ± 2 h k 4 2m 2 F 2 h k 2m 2 . 2 2 λ a f + 4 2 ∆ 2 .
P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 45 Dies produziert ein Gap der elektronischen Anregungen bei kF der Größe λaf∆. Das Gleichgewicht ist erreicht bei der Bedingung: k ⎛ F ∂ 1 ⎞ ⎜ E . ( ) ⎟ Verzerr + = 0 ∂∆ ⎜ 2 ∫ ε k dk . ⎟ ⎝ kF −kF ⎠ Dies ist näherungsweise durch die Beziehung: 2 −h k Fπ 2 −1 2 F ma λ f N ( ε F ) V 2 4h k 2 λaf∆ ≈ e ≈ 8We m gegeben, wobei durch die Schreibweise mit Hilfe der Bandbreite 2 2 h kF 2m W = , die Zustandsdichte an der Fermienergie N( ε F ) = und 2 2m h kFπ einem effektiven Elektron-Elektron-Wechselwirkungspotential 2 2 a λ f V = die Analogie mit der BCS-Theorie der Supraleitung 2 aufgezeigt wird. Anmerkungen: Der generelle Effekt der Aufhebung einer Entartung durch Symmetrieerniedrigung ist als Jahn-Teller Effekt in der Physik bekannt. (z.B. Aufspaltung von entarteten Atomorbitalen, d, f-Orbitale, durch Gittersymmetrie.) Die Peierlsverzerrung ist ein Spezialfall davon. Bei genügend tiefer Temperatur sollte also ein eindimensionales Metall nicht existieren. Bei endlicher Temperatur, wenn genügend Elektronen über das Peierls –Gap thermisch aktiviert sind, wird die Energiebilanz zu Ungunsten der Peierlsverzerrung verändert und ab einer charakteristischen Temperatur (dem Peierls-Übergang) wird die Verzerrung aufgehoben (Phasenübergang). Nicht nur die elektronischen Energieniveaus werden durch die Wechselwirkung mit dem Gitter verändert, sondern auch die Energien der Gitterschwingungen. So beobachtet man auch bei Temperaturen über dem Peierlsübergang eine Energieerniedrigung des Phonons bei 2kF (Kohn Anomalie). Dieses „weich“ werden der Gittermode (ähnlich der soft modes bei ferroelektrischen Phasenübergängen) kündigt den Peierlslübergang an. Bei Einsetzen der Peierls-Verzerrung ist die Frequenz dieser Gittermode gleich Null entsprechend einer statischen Verzerrung. Mott-Hubbard-Isolator: Eine frühe Überlegung von Mott zeigte noch einen weiteren Mechanismus der verhindert, dass sich ein Metall ausbildet. Eine Anordnung von H-Atomen mit einem Atom pro Elementarzelle sollte ein Metall mit einem halbgefüllten Band liefern. Tatsächlich liegt aber oft ein Isolator auch ohne Peierls-Verzerrung vor. Der Grund liegt darin, dass wenn die H-Atome genügend weit voneinander entfernt sind (große Gitterkonstante) offenbar nur wechselwirkende H-Atome vorliegen die elektrisch isolierend sind. Erst bei genügend kleinem Gitterabstand kann sich die Bandstruktur ausbilden und es liegt ein Metall vor. Der kritische Gitterabstand ist dabei ca. 4-5 mal der Bohr´sche Radius. Eine genauere Erklärung kann erst innerhalb des auf Hubbard zurückgehenden Modells gefunden werden. In der üblichen Bandstrukturrechnung wird die Elektron-Elektron-Wechselwirkung nur in der mean-field oder in der
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