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P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 43
4.2 Kopplungen zu den Elektronen
Auch unter der Born-Oppenheimer Näherung, welche die getrennte Behandlung von
Elektronen und Kernen ermöglicht, ist die Elektronendynamik und Kerndynamik nicht völlig
voneinander getrennt sondern stark abhängig. Diese gegenseitige Abhängigkeit äußert sich
zweierlei: Einerseits in der Abhängigkeit der elektronischen Wellenfunktion von den
Kernkoordinaten und andererseits von der Abhängigkeit des Kernpotentials vom
elektronischen Anregungszustand. Dies ist in der zusammengesetzten "Born-Oppenheimer"r
r r r
i,
ν
i r
Wellenfunktion ψ ( R,
r)
= ψ ker n ( R)
∗ψ
el ( r,
R)
für den i-ten elektronischen und ν-ten
phononischen Zustand ersichtlich. Im Festkörper mit einer hohen Anzahl an Elektronen (10 23 )
und ihrem delokalisierten Charakter kann die Abhängigkeit der Kernpotentiale vom
Anregungszustand (1 Elektron angeregt) vernachlässigt werden. Dies ist nicht möglich im
Fall von Defekten oder überhaupt bei Molekülen (Franck-Condon-Prinzip). Die Abhängigkeit
der elektronischen Wellenfunktion kann durch eine störungstheoretische Entwicklung der
elektronischen Wellenfunktion nach den Kernkoordinaten beschrieben werden (Herzberg-
Teller-Entwicklung):
0
i r r ∂H
el j r r r r
ψ el ( r,
R0
) r ψ el ( r,
R0
) ( R − R0
)
∂
i r r i r r
R
j r r
ψ el ( r,
R)
ψ el ( r,
R0
) +
ψ el ( r,
R0
) + .......
i j
E − E
= ∑
j≠i
0
Die Erwartungswerte der Ableitungen des elektronischen Hamiltonoperators nach den
Kernkoordinaten werden dabei Deformationspotentiale genannt.
Diese Elektron-Phonon-Wechselwirkung ist sehr wichtig für viele Eigenschaften der Materie
wie z.B. die elektrische Leitfähigkeit, die Wärmeleitfähigkeit, Phasenübergänge (z.B.
Peierlsübergänge) etc. Auch viele physikalische Untersuchungsmethoden benötigen die
Elektron-Phonon-Wechselwirkung wie z.B. die Ramanstreuung (inelastische Streuung mit
Photonen) an Phononen.
4.2.1 Instabilität von 1-dimensionalen Metallen
Peierls-Instabilität: Betrachten wir ein eindimensionales Metall dessen Band bis kF, εF
(Fermi-Energie) mit Elektronen gefüllt ist.
z.B.: N H-Atome im Abstand a angeordnet würden mit ihren 1s-
Orbitalen überlappen und ein eindimensionales Band bilden.
Dieses Band besteht aus N Zuständen innerhalb der ersten
Brillouinzone und kann damit 2N Elektronen aufnehmen. Da pro
H-Atom jeweils 1 Elektron zur Verfügung steht, wird das Band mit
nur N Elektronen gefüllt, welche im Grundzustand (niedrigste
Energie) das Band bis zur Hälfte auffüllen; es liegt ein Metall vor
π
mit kF = ± 2a
.
Aufgrund der Elektron-Phonon-Wechselwirkung sind die elektronischen
Zustände über die Phononen miteinander gekoppelt. An der Fermifläche
(im Eindimensionalen nur 2 Punkte) liegen besetzte und unbesetzte
Zustände unendlich dicht nebeneinander und sind dadurch entartet.
Koppelt man nun einen besetzten und unbesetzten Zustand an der
0