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P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 38 ∑ ∑ ∑ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − = = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + = + − + − + t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t y x y x y x y x R f R R f R R f R R f R R f f f f f f f f R R K R R K R V r r r r r r r v r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r 1 , 1 , , 1 , 1 2 1 2 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . 2 . . . . . 2 δ δ δ Daraus berechnet sich die dynamische Matrix zu: ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + = + = + − + − − − − − − ∑ 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 . . . . . . . 1 . ~ ~ ) ( M f a k M M f M f a k M M f a k M M f M f a k M M f M f k i y x y x e e e e e K K k D δ δ δ v r r r r Wie man sieht zerfällt die dynamische Matrix in 3 Untermatrizen. Durch Umordnung der Koordinaten nach: ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = x t x t R R R , 2 , , 1 , 1 r r r , und ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = y t y t R R R , 3 , , 1 , 2 r r r ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = x t y t R R R , 3 , , 2 , 3 r r r erhalten wir 2 dynamische Matrizen, welche ungleich der Nullmatrix sind:
P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 39 D ( k ) r 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ = − f M1M 2 + ( ) ( ) ⎟ ⎟ 2 f − f −k xa + ⎞ M 1 e 1 M1M 2 kxa 2 f 1+ e M 2 ⎠ und D ( k ) r 2 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ = − f M1M 2 + ( ) ( ) ⎟ ⎟ 2 f − f −k ya + ⎞ M 1 e 1 M1M 2 k ya 2 f 1+ e <strong>Di</strong>ese dynamische Matrizen entsprechen denen der zweiatomigen Kette, einmal in x und einmal in y-Richtung. Wir können daher direkt das Ergebnis vom vorherigen Beispiel übernehmen und erhalten die 6 Eigenwerte: ω ( k) = 0 2 1 ω ( k) = 0 2 2 ω ( k) = f 2 3 ω ( k) = f 2 4 ω ( k) = f 2 5 ω ( k) = f 2 6 1 1 ( M + ) 1 M − f 2 1 1 2 2−2 cosk ( M + ) 1 M − 2 M1M 2 1 1 ( M + ) 1 M − f 2 1 1 2 2−2 cosk ( M + ) 1 M − 2 M1M 2 1 1 ( M + ) 1 M + f 2 1 ( M1 + 1 2 2−2 cosk M ) − 2 M1M 2 1 1 ( M + ) 1 M + f 2 1 ( M1 + 1 2 2−2 cosk M ) − 2 M1M 2 xa ya xa ya <strong>Di</strong>e dazugehörigen Auslenkungsvektoren im reellen, nicht massegewichteten Raum lauten: r r R r ( k ) = ⎛ na ⎞ 1, t = ⎜ ⎟ ⎝ ma ⎠ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ 1 ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟cos( k xna + k yma) , N ⎜ R⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ r r R r ( k ) = ⎛ na ⎞ 2, t = ⎜ ⎟ ⎝ ma ⎠ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ 1 ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟cos( k xna + k yma) , N ⎜ 0 ⎟ ⎜ R ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ R ( k ) = ⎛ na ⎞ 3, t = ⎜ ⎟ ⎝ ma ⎠ ⎛ R ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ 2 2 f M1 3 ( k ) 1 ⎜ − ω ik a R⎟ − η f fe x ⎜ + ⎟cos( k xna + k yma) N ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ r r r r , R ( k ) = ⎛ na ⎞ 4, t = ⎜ ⎟ ⎝ ma ⎠ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ R ⎟ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ ⎟cos( k na k ma) N 0 x + y ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 2 ⎟ 2 f −M 1ω 4 ( k ) ⎜ −ik a ηR⎟ y ⎝ f + fe ⎠ r r r r , M 2 ⎠
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