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P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 36 Streng genommen würde beim Übergang auf den physikalisch sinnvollen reellen Raum jede Komponente mit einer eigenen Phase im Ort oszillieren. Es kann jedoch ein gemeinsamer Faktor von cos(kn2a) herausgehoben werden, wobei aber das Verhältnis der Auslenkungen der beiden Atome mit einem Faktor η = cosϕ − tan( kn2a) sinϕ korrigiert werden muss. ϕ stellt den Phasenwinkel der komplexen Komponente dar. In unserem Fall würde sich die f2 sin( k 2a ) Phase ergeben zu: ϕ = arctg ( f cos( 2a ) ) 1+ f2 k . Dieses mathematische Faktum bedeutet, dass der Übergang auf den physikalisch sinnvollen reellen Raum nicht so einfach als Betrag oder Realteilbildung der einzelnen Komponenten erfolgen kann, wenn ein für alle Komponenten gemeinsamer Faktor einer räumlichen Welle explizit angeschrieben werden soll. Man erhält im allgemeinen, dass in jeder Elementarzelle das Verhältnis der Auslenkungen der einzelnen Atome zueinander unterschiedlich sein kann. Dies entspricht der mathematischen Formulierung, dass das Blochtheorem im komplexen Raum gültig ist und bei dem Versuch ein ähnliches Theorem im reellen zu formulieren, komplizierte Phasenfaktoren auftreten. Zeitlich oszillieren alle Beiträge der Atome in jeder Elementarzelle gemeinsam und das Phasenverhältnis zwischen den Elementarzellen ist für jede Komponente mit einer räumlichen ebenen Welle gegeben. Zu beachten ist in diesem Zusammenhang, dass beim gitterdynamischen Problem die räumlichen ebenen Wellen nur die Bedeutung einer Phasenfestlegung im gewählten Ursprung der Elementarzelle besitzen. Dies ist anders wenn Probleme mit einer kontinuierlichen Verteilung innerhalb der Elementarzelle betrachtet werden (z.B. Elektronendichten). Die Bedeutung der durch die komplexe Fouriertransformation auftretenden Phasenfaktoren müssen dann extra interpretiert werden. 4.1.3 Beispiel: drei-atomiges, ebenes, quadratisches Gitter Abb.4.1.3.1: Ebenes quadratisches Gitter (CuO2-Ebene) Auf der Basis der bisher gewonnenen Erkenntnisse erweitern wir auf ein 2-dimensionales Gitter, welches aus 3 Atomen besteht, von denen 2 M1 und M2 verschieden sind. Dabei soll jeweils in eine Raumrichtung Atome 1 und 2 abwechseln aneinander gebunden sein.
P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 37 Senkrecht dazu soll ebenfalls Atom 1 und 2 abwechselnd gebunden sein, wobei die Kreuzungspunkte der senkrecht aufeinanderstehenden Ketten im Atom 1 liegen sollen. Alle Federkonstanten sollen der Einfachheit halber gleich f sein. Die Einheitszelle ist dabei ein Quadrat der Kantenlänge a mit 3 Atomen in der Basis (Atom 1 und 2-mal Atom 2). Dieses quadratische Gitter stellt ein vereinfachtes gitterdynamisches Modell der CuO2-Ebenen in den Hochtemperatursupraleitern dar. Eine Ansicht des Gitters ist in Fig.4.1.3.1 gezeigt. Weiters betrachten wir 2-dimensionale Auslenkungen entlang x und y. Damit erhalten wir ein 6-dimensionales Schwingungsproblem in einer Elementarzelle oder für einen Wellenvektor r k . Der 6-dimensionale Auslenkungsvektor hat folgende Gestalt: r R r t ⎛ Rr t , ⎜ ⎜ Rr t , ⎜ Rr t , = ⎜ ⎜ Rr t , ⎜ Rr ⎜ t , ⎜ ⎝ Rr t , 1, x 1, y 2, x 2, y 3, x 3, y ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ . ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ Das Potential erhalten wir zu: V = 1 2 2 2 ( ... + fR − fR R ) + ( ... + fR − fR R ) ⎧.... ⎪ ⎪ ⎛− fR ⎨+ ⎜ ⎜ ⎪ ⎝ − fR ⎪ ⎪⎩ + tx −1, t y , 2, x tx −1, t y , 2, x t , t −1, 3, y + 2 fR + 2 fR − 2 fR − 2 fR + 2 fR + 2 fR ⎫ ⎪ + ⎞ ⎪ ⎟ + ⎟ ⎬ ⎠ ( ) ( ⎪ ⎪⎪ x y x y x y x y x y x y x y x y 2 2 − fR R + fR + ... + − fR R + fR + ... ) + .... tx , t y , 2, x R R tx , t y , 1, x t , t , 1, y tx + 1, t y , 1, x tx −1, t y , 2, x tx , t y , 1, x 2 tx , t y , 1, x 2 t , t , 1, y tx + 1, t y , 1, x tx , t y , 1, x R tx , t y −1, 3, y R tx , t y , 2, x t , t , 1, y t , t , 3, y tx , t y , 3, y tx , t y + 1, 1, y tx , t y −1, 3, y 2 tx , t y , 2, x 2 t , t , 3, y − − tx , t y , 1, y fR fR tx , ty + 1, 1, y + tx , t y , 2, x t , t , 3, y In Matrixschreibweise und nach intra- und inter-Zellwechselwirkung aufgeteilt: R R tx + 1, t y , 1, x t , t + 1, 1, y ⎭
Seite 1 und 2: P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im
Seite 35: P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im

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