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P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 34 4.1.2 Beispiel: die zweiatomige lineare Kette Wir betrachten eine lineare Kette wie im vorherigen Beispiel, nur dass zwei Massen M1 und M2 jeweils abwechselnd im Abstand a vorkommen und mit Federkonstanten f1 und f2 abwechselnd aneinander gebunden sind. Die Translationssymmetrie verlängert sich dabei auf 2a. Die Auslenkungskoordinate für eine Elementarzelle und für einen Wellenvektor ist ein 2dimensionaler Vektor. Das Potential muss nun neu nach Elementarzellen angeordnet werden: V = = = 1 2 1 2 1 2 ⎧ r ∑⎨RtKRt+ ∑ t ⎩ r 2 ( ... + f 2Rt −1, 2 − f 2Rt −1, 2Rt , 1) + 2 2 2 2 ( − f 2Rt −1, 2Rt , 1 + f 2Rt , 1 + f1Rt , 1 − 2 f1Rt , 1Rt , 2 + f1Rt , 2 + f2R t, 2 − f 2Rt , 2Rt + 1, 1) 2 ( − f R R + f R + ... ) + .... ⎧.... ⎪ ⎨+ ⎪ ⎩+ 2 t, 2 t+ ⎧ r ⎛ f1 + f 2 ∑ ⎨Rt ⎜ t ⎩ ⎝ − f1 δ 1, 1 r r R K R f t − 1 2 + f δ t+ δ t+ 1, 1 1 f 2 ⎫ ⎬ = ⎭ ⎞ r r ⎛0 − f ⎞ r 2 ⎟Rt + Rt ⎜ ⎟Rt ⎠ ⎝0 0 ⎠ −1 r ⎛ 0 + Rt ⎜ ⎝− f 2 0⎞ r ⎟Rt 0⎠ Mit massegewichteten Koordinaten schreibt sich der Hamiltonoperator im Ortsraum: Hˆ ker n + 1 ⎫ ⎬ ⎭ ⎫ ⎪ + ⎬ = ⎪ ⎭ f ⎪ ⎧ 1+ f2 − f1 ~ r ~ r ~ r ~ r ⎛ ⎞ − f ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ ⎫ M ~ r ~ r 2 ~ r ~ r 0 0 ~ r 1 1 = ⎜ 1 M M ⎟ 0 1 2 1 ∑ ⎨ + + ⎜ M M ⎟ 1 ( R) P + ⎜ − ⎟ tPt Rt − f f + f Rt R 1 2 t ⎜ ⎟ Rt− Rt f R ⎜ ⎟ t+ ⎬ r 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 ⎪⎩ ⎜ ⎟ t M ⎝ M M ⎠ ⎝0 0 ⎠ 0 2 ⎝ M1M 1 2 2 ⎠ ⎪⎭ Nach der Fouriertransformation erhält man die dynamische Matrix zu: ~ D( k) = K + ⎛ = ⎜ ⎜ ⎝ −1 M M 1 2 ∑ ⎛ = ⎜ ⎜ ⎝ f1+ f M − f 1 M1M 2 − f1 M1M f1+ f2 M ⎞ ⎛ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ( ) ( ) ⎟ ⎟ f1+ f2 −1 −ik 2a + ⎞ M f 1 1 f2e M1M 2 ik 2a f1+ f2 f + f e 1 δ ~ K e 2 −ikδ δ 1 2 M 2 2 2 Die Diagonalisierung liefert die beiden Dispersionsrelationen für akustischen und optischen Ast: −1 f1 f2 M1 M1M 2 ik 2a ( f + f e ) −ik 2a ( f + f e ) 2 2 1 1 2 ( f1+ f2 ) ( ω ( k) ) − ( f + f )( + ) ω ( k) − 2 ak 2 op + 2 − ω ( k) 1 ω ( k) = ω ( k) = ⎠ − f 0 2 M1M 2 e ik 2a 2 ( f + f ) ( f + f ) 2 2 f f ( cos 2ka−1) ( ) ( ) 1 2 ( f + f ) ( f + f ) 2 2 f f ( cos 2ka−1) ( ) ( ) 1 2 2 2 1 2 2 1 M1 1 M1 2 + M1 1 M 2 1 M 2 −1 M1M 2 f1+ f2 M 2 + M 2 1 1 1 4 4 2 2 2 2 − ω ( k) 1 M1 1 M1 r r Die zugehörigen Eigenvektoren Q (k) und Q + − ak + + 1 M 2 1 M 2 op = 0 2 − 2 f1 −2 f1 f2 M1M 2 + + (k) cos 2ka− 1 2 M1M 2 1 2 M1M 2 2 f2 − f2 M M 1 = 0 2 0 e −ik 2a ⎞ ⎟ = ⎟ ⎠ beschreiben die Auslenkung der Atome in der Einheitszelle und ergeben sich aus den entsprechenden Bedingungen:
P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 35 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ −1 M sM 2 ( ) ( ) ⎟ f1+ f2 −1 −ik 2a + ⎞ ~ ~ M f1 f2e ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ( ) ⎞ 1 M ( ) 1M R1 k 2 R1 k 2 ⎜ ⎟ = ⎜ ik 2a f + + ⎟⎜ ~ ⎟ ( k) 1 f ω 2 f f e ⎜ ~ R ( k) R ( k) 1 2 M 2 Daraus erhält man die Normalkoordinaten ausgedrückt in den massegewichteten Auslenkungen, welche hier nicht im Betrag normiert angeschrieben sind: r Q r Q ak op ⎛ = ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎜ ⎜ ⎝ ~ R 2 f1+ f2 −M1ω ak ( k ) −ik 2a f1+ f2e ~ R 2 f1+ f2 −M1ω opk ( k ) −ik 2a f1+ f2e M 2 M1 M 2 M1 ⎞ ~ ⎟ R ⎟ ⎠ ⎞ ~ ⎟ R ⎟ ⎠ Wie im Fall der einatomigen linearen Kette sind die Normalkoordinaten komplex. Die reale Auslenkung eines Atoms für eine bestimmte Mode (optisch oder akustisch) bei vorgegebenem Wellenvektor erhält man zu: ~ r Rak , t= n2a ( k) = 1 r ikn2a Qak ( k) e N bzw. ~ r Rop, t= n2a ( k) = 1 r Q N Die realen Auslenkungen erhält man mit der allgemeinen Vorschrift: ~ Rt , 1 M1 t ~ Rt , 2 M 2 ⎛ R ⎛ t, 1 ⎞ R = = ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ Rt, 2 ⎠ ⎝ r r ⎞ ⎟ ⎟ . ⎠ ⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 op ⎠ ( k) e Die realen Auslenkungen eines Atoms für eine bestimmte Mode mit Wellenvektor k sind zunächst ebenfalls komplex, wie im Fall der einatomigen Kette. Die Summe über alle Wellenvektoren, welche dann die gesamte Auslenkung des Atoms darstellt, ist jedoch wieder reell. Für den akustischen und optischen Zweig ergibt sich zunächst: r R ak , t= n2a ( k) = 1 N ⎛ ⎜ ⎝ R 2 f1+ f2 −M1ω ak ( k ) −ik 2a f1+ f2e ⎞ ⎟e R⎟ ⎠ ikn2a bzw. r R op, t= n2a ( k) = 1 N ⎛ ⎜ ⎝ ikn2a R . 2 f1+ f2 −M1ω opk ( k ) −ik 2a f1+ f2e ⎞ ⎟e R⎟ ⎠ Dabei kann R eine beliebige (auch komplexe Zahl sein), welche letztendlich die Amplitude (und Phase) der Schwingung festsetzt. Der Übergang in den physikalisch sinnvollen reellen Raum wird wieder durch Beschränkung auf den Realteil der einzelnen Komponenten des Auslenkungsvektors erreicht. Mit reellem R (damit setzen wird die Anfangsbedingungen so, dass die Phase für die erste Komponente Null ist) erhält man: bzw. 1 R R ( ) 2 ak , t n2a k f cos( 2 ) 1 f2 M1 ( ) kn a ak k N ik 2a R⎟ f1 f2e ⎟ r ⎛ ⎞ ⎜ = = + − ω ⎜ − η ⎝ + ⎠ 1 R 2 Rop, t n2a ( k) f1 f2 M1 opk ( k ) cos( kn2a) N ik 2a R⎟ f1 f2e ⎟ r ⎛ ⎞ ⎜ = = + − ω . ⎜ − η + ⎝ ⎠ ikn2a
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