jeweils Di., 11.00 - 12.30 Uhr Ort - KFU

P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 34
4.1.2 Beispiel: die zweiatomige lineare Kette
Wir betrachten eine lineare Kette wie im vorherigen Beispiel, nur dass zwei Massen M1 und
M2 jeweils abwechselnd im Abstand a vorkommen und mit Federkonstanten f1 und f2
abwechselnd aneinander gebunden sind. Die Translationssymmetrie verlängert sich dabei auf
2a. Die Auslenkungskoordinate für eine Elementarzelle und für einen Wellenvektor ist ein 2dimensionaler
Vektor. Das Potential muss nun neu nach Elementarzellen angeordnet werden:
V
=
=
=
1
2
1
2
1
2
⎧ r
∑⎨RtKRt+ ∑
t
⎩
r
2 ( ... + f 2Rt
−1,
2 − f 2Rt
−1,
2Rt
, 1)
+
2 2
2
2
( − f 2Rt
−1,
2Rt
, 1 + f 2Rt
, 1 + f1Rt
, 1 − 2 f1Rt
, 1Rt
, 2 + f1Rt
, 2 + f2R
t,
2 − f 2Rt
, 2Rt
+ 1,
1)
2
( − f R R + f R + ... ) + ....
⎧....
⎪
⎨+
⎪
⎩+
2 t,
2 t+
⎧ r ⎛ f1
+ f 2
∑ ⎨Rt
⎜
t ⎩ ⎝ − f1
δ
1,
1
r r
R K R
f
t
−
1
2
+
f
δ t+
δ
t+
1,
1
1
f
2
⎫
⎬ =
⎭
⎞ r r ⎛0 − f ⎞ r 2
⎟Rt
+ Rt
⎜ ⎟Rt
⎠ ⎝0
0 ⎠
−1
r ⎛ 0
+ Rt
⎜
⎝−
f
2
0⎞
r
⎟Rt
0⎠
Mit massegewichteten Koordinaten schreibt sich der Hamiltonoperator im Ortsraum:
Hˆ
ker n
+ 1
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
+ ⎬ =
⎪
⎭
f
⎪
⎧
1+
f2
− f1
~ r ~ r ~ r ~ r ⎛
⎞
− f
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪
⎫
M ~ r ~ r
2 ~ r ~ r 0 0 ~ r
1 1
= ⎜ 1 M M ⎟ 0
1 2 1
∑ ⎨ +
+ ⎜ M M ⎟ 1
( R)
P
+ ⎜ − ⎟
tPt
Rt
− f f + f Rt
R
1 2
t ⎜ ⎟
Rt−
Rt
f R
⎜ ⎟ t+
⎬
r
2 2
1
1 2
2
1 2
2
1
⎪⎩
⎜
⎟
t
M ⎝ M M ⎠ ⎝0
0 ⎠
0
2
⎝ M1M
1 2
2 ⎠ ⎪⎭
Nach der Fouriertransformation erhält man die dynamische Matrix zu:
~
D(
k)
= K +
⎛
= ⎜
⎜
⎝
−1
M M
1
2
∑
⎛
= ⎜
⎜
⎝
f1+
f
M
− f
1
M1M
2
− f1
M1M
f1+
f2
M
⎞ ⎛
⎟ + ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
( )
( ) ⎟ ⎟
f1+
f2
−1
−ik
2a
+ ⎞
M
f
1
1 f2e
M1M
2
ik 2a
f1+
f2
f + f e
1
δ
~
K e
2
−ikδ
δ
1
2
M 2
2
2
Die Diagonalisierung liefert die beiden Dispersionsrelationen für akustischen und optischen
Ast:
−1
f1
f2
M1
M1M
2
ik 2a
( f + f e )
−ik
2a
( f + f e )
2 2
1 1 2 ( f1+
f2
)
( ω ( k)
) − ( f + f )( + ) ω ( k)
−
2
ak
2
op
+
2
− ω ( k)
1
ω ( k)
=
ω ( k)
=
⎠
− f
0
2
M1M
2
e
ik 2a
2
( f + f ) ( f + f ) 2 2 f f ( cos 2ka−1)
( ) ( )
1
2
( f + f ) ( f + f ) 2 2 f f ( cos 2ka−1)
( ) ( )
1
2
2
2
1
2
2
1
M1
1
M1
2
+
M1
1
M 2
1
M 2
−1
M1M
2
f1+
f2
M 2
+
M 2
1
1
1
4
4
2
2
2
2
− ω ( k)
1
M1
1
M1
r r
Die zugehörigen Eigenvektoren Q (k)
und Q
+
−
ak
+
+
1
M 2
1
M 2
op
= 0
2
−
2
f1
−2
f1
f2
M1M
2
+
+
(k)
cos 2ka−
1 2
M1M
2
1 2
M1M
2
2
f2
− f2
M M
1
= 0
2
0
e
−ik
2a
⎞
⎟ =
⎟
⎠
beschreiben die Auslenkung der Atome
in der Einheitszelle und ergeben sich aus den entsprechenden Bedingungen: