jeweils Di., 11.00 - 12.30 Uhr Ort - KFU

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 32 Hˆ = = = ker n ~ r ( R) = ⎧ 1 1 ⎨ 2 ⎩ N ~ &r ~ &r 1 R rR r r r 2 k k ' r k , k ' t r k 1 2 ~ &r ~ &r R rR k r −k ⎧ ~ r ~ r ~ r ~ ~ r 1 1 2 Pr Pr 2 RrKR r ⎨ t t + t t ⎩ 1 + 2 ~ r ~ ~ r ⎫ RrK rRr r t = δ t + δ ⎬ δ ⎭ ~ &r rr ~ &r r r ikt ik 't R re R r e k ∑r k ' k ' 1 ~ r rr ~ ~ r r r 1 ikt ik 't 1 + 2 R re K R r ∑ e r k ∑ + r k ' 2 N k k ' δ 1 N r k ~ r rr ~ ~ r r r r ikt ik ' R e K R e ( t + δ ) ⎫ r r r = k δ ∑ k ' ⎬ ' ⎭ 1 N r r r i( k + k ' e ) t ~ r ~ ~ r 1 + 2 R rKR r ∑rrkk' k , k ' r r 1 r ( ) ~ r r r ~ ~ r i k + k ' t 1 ik 'δ e 2 R r K re R r ∑ + k k ' N r ∑rr∑rδ t k , k ' δ r r 1 r i( k + k ' e ) t ∑ = N r t ~ r ~ ~ r 1 + 2 R rKR r ∑r k −k ~ r r r ~ ~ r 1 −ikδ + 2 R r K re R r ∑r k ∑rδ −k ⎧ ~ &r ~ &r ~ r r ~ r r 1 * 1 * ⎫ = ( ) ˆ 2 R rR r 2 R rD k R r ∑ = H ker n ( k ) r ⎨ + k k k k ⎬ ⎩ ⎭ r r t ∑ ∑ ∑ ∑ r r r r t k k ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ k k δ Die massegewichtete dynamische Matrix ∑ − r r r ~ ~ ikδ D( k ) = K + K re bestimmt dabei das Frequenzverhalten. Durch eine unitäre Transformation in die Normalkoordinaten Q U R k k k r r r r ~ r = lässt sich der Hamiltonoperator diagonalisieren: ker n ∑ = r k r r r 1 &r &r * { Q rQ r 1 2 * + Q r [ k ] Q r 2 2 ( ) } r Hˆ ( k ) ω . k 4.1.1 Beispiel: die einatomige lineare Kette k k k In der einatomigen linearen Kette sind N Atome mit Masse M im Abstand a angeordnet, wobei nächste Nachbarn mit Federkonstanten f aneinandergebunden sind. Wir betrachten nur Auslenkungen in der Richtung der Kette (longitudinale Mode). Wir wählen die kleinste Einheitszelle mit einem Atom. Das Potential ergibt sich zu: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 R − R + ..... + f R − R + f R − R + + f R − R 1 V = 2 f 1 2 2 t− 1 t 2 t t+ 1 ........ 2 N Als nächstes wird das Potential in die Anteile in und zwischen den Elementarzellen zerlegt: V = = .... ⎧ ⎫ 1 2 ∑⎨RtKRt + ∑RtKδRt+ δ ⎬ = t ⎩ δ ⎭ 1 2 1 1 2 1 1 1 2 ( ... + fR − fR R ) + ( − fR R + fR − fR R ) + ( − fR R + fR + ... ) 2 t−1 2 t−1 t 2 t−1 t t 2 t k t+ 1 r δ δ 2 t t+ 1 2 1 . t+ 1 + .... = ⎧ ⎫ 1 = 2 ∑⎨Rt2fRt + ∑Rt( − f ) Rt+ δ ⎬ t ⎩ δ = −1, 1 ⎭ Der Index δ läuft dabei über die zwei nächsten Nachbarn. Mit massegewichteten Koordinaten lautet der Hamiltonoperator im Ortsraum: Hˆ ker n ~ ( R) = 1 1 1 ∑⎨2PtPt+ 2 Rt Rt + 2 ∑ t ⎧ ~ ~ ~ 2 f ~ ~ − f ~ Rt R ⎩ M δ = −1, 1 M Die Lösungen erhält man bereits durch reine Fouriertransformation, da nur ein Freiheitsgrad pro Elementarzelle zur Verfügung steht: t+ δ ⎫ ⎬ . ⎭
P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 33 ker n 1 ∑ { QkQ& * 1 2 * 2 k + 2 Qk [ ( k) ] Qk } Hˆ ( k) & ω . = k Dabei lautet die Dispersionsrelation: 2 ~ ω ( k) = K + ∑r δ ~ K r r −ikδ r e δ 2 f = − M f M −ika ika 2 f ( e + e ) = ( 1− cos ka) Dies entspricht der bekannten Dispersionsrelation des longitudinal akustischen Zweiges der linearen Kette mit nächster Nachbarwechselwirkung. Der Beitrag zum Auslenkungsvektor des n-ten Atomes von einer Normalschwingung Qk ist gegeben durch: R t= na ( k) = 1 NM Q k e ikna . Aufgrund des mathematischen Formalismusses der komplexen Fouriertransformation bzw. der gruppentheoretischen Bestimmung der irreduziblen Darstellungen im Komplexen, ergibt sich der Auslenkungsvektor für eine spezielle Mode ebenfalls im komplexen Zahlenraum. 1 ikna Allerdings ist die Gesamtauslenkung Rt= na = ∑ Rt= na ( k) = ∑Qk e des n-ten Atoms k reell, da die Beiträge von k und -k zueinander konjugiert komplex sind. Solange Symmetrie bezüglich +k und -k vorliegt ist es sinnvoll die Beiträge von +k und -k zusammenzufassen und sich so auf den physikalisch sinnvollen reellen Raum zu beschränken: 1 ikna ikna 1 1 1 * − ikna Rt= na ( k ) = 2 ( Rt ( k) + Rt ( −k) ) = 2 ( Qke + Qke ) = Re( Qke ) . NM NM Dies entspricht einer stehenden räumlichen Welle, welche durch die beiden laufenden Wellen bei +k und -k gebildet worden ist. Die hier auftretende Amplitude der stehenden Welle ist jedoch nicht explizit zu erkennen. Diese würden sich aus M NM * k k Q k Q ergeben, wie ein Blick auf den Hamiltonoperator zeigt. Es ist daher zweckmäßig, die räumliche Welle als 1 ( k ) = Q cos( nka + ϕ ) NM Rt = na k anzuschreiben, wobei die auftretende Phase ohne weitere Randbedingungen (Vorgabe eines Schwingungszustandes an einem bestimmten Ort zur bestimmten Zeit) ebenso wie der Betrag der Amplitude beliebig sein kann. (Dass hier zusätzlich eine Phase auftritt rührt daher, dass das physikalische Problem des reellen Raumes in den komplexen Raum abgebildet wurde, welcher mehr mathematische Freiheitsgrade zulässt. Dadurch kann die Amplitude der Normalschwingung Q komplex gewählt werden, wodurch hier die Phase zusätzlich auftritt. k Beschränkt man sich hingegen bei der Vorgabe von Qk auf reelle Werte, wie es im Ansatz des Hamiltonoperators für Auslenkungen angenommen wurde, so ist automatisch ϕ = 0 .)
Seite 1 und 2: P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im
Seite 31: P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im

jeweils Di., 11.00 - 12.30 Uhr Ort - KFU

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?