jeweils Di., 11.00 - 12.30 Uhr Ort - KFU

P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 32
Hˆ
=
=
=
ker n
~ r
( R)
=
⎧ 1 1
⎨ 2
⎩ N
~ &r ~ &r
1 R rR
r
r r 2 k k ' r
k , k '
t
r
k
1
2
~ &r ~ &r
R rR
k
r
−k
⎧ ~ r ~ r ~ r ~ ~ r
1
1
2 Pr
Pr
2 RrKR
r
⎨ t t + t t
⎩
1 + 2
~ r ~ ~ r ⎫
RrK
rRr
r
t =
δ t + δ ⎬
δ ⎭
~ &r rr
~ &r r r
ikt
ik
't
R re
R r e
k ∑r
k '
k '
1 ~ r rr
~ ~ r r r
1
ikt
ik
't
1
+ 2 R re
K R r ∑
e
r k ∑ +
r k ' 2
N k
k '
δ
1
N r
k
~ r rr
~ ~ r r r r
ikt
ik
'
R e K R e
( t + δ ) ⎫
r r r =
k δ ∑ k ' ⎬
' ⎭
1
N
r r r
i(
k + k '
e
) t
~ r ~ ~ r
1 + 2 R rKR
r ∑rrkk' k , k '
r r 1
r
( ) ~ r
r r ~ ~ r
i k + k ' t 1
ik
'δ
e
2 R r K re
R r
∑ + k
k '
N r ∑rr∑rδ t
k , k ' δ
r r 1
r
i(
k + k '
e
) t
∑ =
N r
t
~ r ~ ~ r
1 + 2 R rKR
r ∑r
k −k
~ r
r r ~ ~ r
1
−ikδ
+ 2 R r K re
R r
∑r k ∑rδ
−k
⎧ ~ &r ~ &r ~ r r ~ r r
1 * 1
* ⎫
=
( ) ˆ
2 R rR
r
2 R rD
k R r
∑
= H ker n ( k )
r ⎨ + k k k k ⎬
⎩
⎭
r r
t
∑ ∑
∑ ∑
r r
r r
t k
k
∑ ∑
∑
∑ ∑
k
k
δ
Die massegewichtete dynamische Matrix ∑ −
r
r r
~ ~ ikδ
D(
k ) = K + K re
bestimmt dabei das
Frequenzverhalten. Durch eine unitäre Transformation in die Normalkoordinaten Q U R
k k k
r r r
r ~ r
=
lässt sich der Hamiltonoperator diagonalisieren:
ker n
∑
=
r
k
r r r
1 &r &r
* { Q rQ
r 1 2 *
+ Q r [ k ] Q r
2
2 ( ) }
r
Hˆ
( k )
ω .
k
4.1.1 Beispiel: die einatomige lineare Kette
k
k
k
In der einatomigen linearen Kette sind N Atome mit Masse M im Abstand a angeordnet,
wobei nächste Nachbarn mit Federkonstanten f aneinandergebunden sind. Wir betrachten nur
Auslenkungen in der Richtung der Kette (longitudinale Mode). Wir wählen die kleinste
Einheitszelle mit einem Atom. Das Potential ergibt sich zu:
( ) ( ) ( ) ( ) 2
2
1
2 1
2
1
R − R + ..... + f R − R + f R − R + + f R − R
1 V = 2 f 1 2
2 t−
1 t 2 t t+
1 ........ 2 N
Als nächstes wird das Potential in die Anteile in und zwischen den Elementarzellen zerlegt:
V
=
= ....
⎧
⎫
1
2 ∑⎨RtKRt + ∑RtKδRt+
δ ⎬ =
t ⎩
δ ⎭
1 2 1
1
2 1
1
1 2
( ... + fR − fR R ) + ( − fR R + fR − fR R ) + ( − fR R + fR + ... )
2
t−1
2
t−1
t
2
t−1
t
t
2
t
k
t+
1
r
δ
δ
2
t
t+
1
2
1
.
t+
1
+ .... =
⎧
⎫
1 = 2 ∑⎨Rt2fRt + ∑Rt(
− f ) Rt+
δ ⎬
t ⎩
δ = −1,
1 ⎭
Der Index δ läuft dabei über die zwei nächsten Nachbarn. Mit massegewichteten Koordinaten
lautet der Hamiltonoperator im Ortsraum:
Hˆ
ker n
~
( R)
=
1
1
1
∑⎨2PtPt+ 2 Rt
Rt
+ 2 ∑
t
⎧ ~ ~ ~ 2 f ~ ~ − f ~
Rt
R
⎩
M
δ = −1,
1 M
Die Lösungen erhält man bereits durch reine Fouriertransformation, da nur ein Freiheitsgrad
pro Elementarzelle zur Verfügung steht:
t+
δ
⎫
⎬ .
⎭