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P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 30 (Dass dieser Ansatz sinnvoll ist erkennt man, wenn man zunächst die Differentialgleichung 2 2 für z >> a und z >> 1 untersucht.) Man erhält folgende Differentialgleichung: 2 d y dy − 2z + 2ν y = 0 mit 2ν = a −1 . 2 dz dz Diese Differentialgleichung ist als Hermitesche Differentialgleichung bekannt und besitzt die Lösungen y( z) = d dz ν ν 2 2 z −z ( −1) e e = H ( z) ν ν für alle ν ≥ 0 , welche die Hermiteschen Polynome sind. Daraus erhält man die Energieeigenwerte zu: ν 1 ( ν + ) hω E = . 2 Die Eigenvektoren erhält man durch Rücksubstitution zu: 1 ω 2 ω − Q 2 h ψν ( Q) = Nν Hν ( h Q) e mit der Normierungskonstanten π ω 1 N ν = ν h . 2 ν! Berücksichtigung der Translationssymmetrie Damit wäre das Bewegungsproblem der Kerne in der harmonische Näherung restlos quantenmechanisch gelöst. Allerdings hätten wir bei einem Festkörper fast unendlich viele Eigenwerte und Eigenvektoren zu berücksichtigen. Es ist daher zweckmäßig, das Problem nach den k-irreduziblen Darstellungen zu zerlegen. Dies soll in diesem Fall mit Hilfe der Fouriertransformation durchgeführt werden. Dazu ist es notwendig, die einzelnen Kerne nach den einzelnen Elementarzellen zu indizieren, wie es bereits bei der Röntgenbeugung gemacht wurde. Der ursprüngliche Hamiltonoperator der Kernbewegung schreibt sich also zu: Hˆ ker n r ( R) = 1 2 r P r r r 1 2 r r 1 1 t , b, α t , b, αi [ M ] P + 2 RV2R = ∑ + ∑ P M P r t , b, α b 1 2 k r r r r t , b, α , t ', b', α ' t , b, α , t ', b', α ' R R r r t , b, α t ', b', α ' Dabei läuft der Index t r über alle Elementarzellen im dreidimensionalen Raum, b über die Atome innerhalb der Elementarzelle (Basis) und α über die drei Raumrichtungen x,y,z. Die Summation über die Elementarzellen kann dabei durch Ausnützung der Translationssymmetrie in die einzelnen Raumrichtungen vereinfacht werden. Mit Hilfe der massegewichteten Koordinaten erhält man: ~ r kr r ⎧ ~ r ~ r ~ r ~ r t b t b ⎫ Hˆ 1 ~ ~ 1 , , α , ', ', α ' ~ ~ n R = ∑ Pr t b Pr t b i + ∑ Rr t b Rr 1 t b = ∑⎨Pr t Pr 1 ~ t + ∑Rr tVr r t t Rr ker ( ) t ⎬ r , , α , , α r r , , α ', ', α ' r 2 2 r , ' ' . 2 t , b, α 2 t , b, α , t ', b', α ' M bM b' t ⎩ t ' ⎭ Um die Indexschreibweise zu vereinfachen, wurden alle Indizes außer dem der Elementarzellen in entsprechende Vektoren bzw. Tensoren zusammengefasst. Aus der Translationssymmetrie folgt, dass das Potential nur von der Differenz der Elementarzellen .
P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 31 abhängen kann. Es ist daher zweckmäßig das Potential in einen Anteil innerhalb der Elementarzelle und in einen zwischen den Elementarzellen aufzuteilen: ~ ~ ~ ~ ~ r r r = mit δ = t − t ' . − δ r r r r r r V K + K = K + K t , t ' t t t ' Dadurch schreibt sich der Hamiltonoperator: Hˆ ker n ~ r ( R) ⎧ 1 ∑⎨Pr t Pr 1 t + Rr t KRr 1 2 2 t + 2 ∑ = Rr t K rRr r r r δ t + δ t δ ⎩ ~ r ~ r ~ r ~ ~ r ~ r ~ In dieser Form ist der Hamiltonoperator als Summe über die Einheitszellen erkennbar. Allerdings ist in dieser Form eine komplette Diagonalisierung im Ortsraum nicht möglich, da bereits drei Terme gleichzeitig diagonalisiert werden müssten. Durch Übergang auf den reziproken Raum mit Hilfe einer Fouriertransformation erfolgt eine Schreibweise als Summe über r k , welche in der harmonischen Näherung nur mehr 2 Terme beinhaltet. Die Fouriertransformation am endlichen Gitter mit periodischen Randbedingungen lautet: ~ r 1 ~ r Rr t = ∑ Rre r k N k rr ikt ~ r , bzw. ∑ − ~ r 1 ~ r R r = Rr k t e r N Durch diese mathematische Transformation verlagert man das physikalische Problem in den Raum der komplexen Zahlen. Die genaue physikalische Bedeutung der auftretenden Amplituden und Phasen muss dabei im Einzelfall geklärt werden, wenn die komplexe Zahlenebene auf den physikalisch relevanten reellen Raum zurückprojiziert wird. Für reelle Rt r r~ ~ r ~ r * ergibt sich die Bedingung R r = R r , dass Beiträge von k − k k r + und k zueinander konjugiert komplex sind. Daraus folgt auch, dass die Kombination aus und zu r − k r + k r − k r automatisch in den reellen Raum zurückführt. Die algebraische Bedeutung der Fouriertransformation auf ein Gitter mit Translationssymmetrie ist die Zerlegung in Ginvariante Unterräume (siehe Skriptum Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik) entsprechend der k-irreduziblen Darstellungen. Dabei handelt es sich um eindimensionale irreduzible Darstellungen der zyklischen Gruppe, welche im Raum der komplexen Zahlen gebildet werden. Wird das Aufsuchen der irreduziblen Räume im reellen Raum durchgeführt, so erhält man 2-dimensionale irreduzible Darstellungen, welche k r + und t rr ikt ⎫ ⎬ ⎭ . r r − k zu k vereinigt haben. Mit Hilfe dieser Fouriertransformation erhält man folgende Darstellungen für die Kronecker - δ, welche für die weitere Umformung des Hamiltonoperators benötigt werden: ikt t = ∑e N r r 1 r δ r , bzw. ∑ −ikt = e k N r r 1 r δ r . k Dadurch kann der Hamiltonoperator geschrieben werden: t
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