jeweils Di., 11.00 - 12.30 Uhr Ort - KFU

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 28 4 Gitterdynamische Anregungszustände 4.1 Phononen Aus der Born-Oppenheimer Näherung folgt, dass das Problem der Kernbewegungen separat im Potential der Kernabstoßungen und der Elektronen (Gesamtenergie) gelöst werden kann. Das Potential wird dazu zweckmäßiger Weise in eine Reihe entwickelt. E i el r r r r ( ˆ i i 1 i + H ( R) ) = V + V R + RV R + .......... ....... r ( R) K , K 0 1 2 2 i i Dabei kann V 0 beliebig gewählt werden (Nullpunkt des Potentials) und der lineare Term V 1 verschwindet, wenn um das Minimum der Energie in der Positionierung der Kerne entwickelt wird. Im weiteren soll zur Vereinfachung der hochgestellte Index i, welcher den i-ten elektronischen Zustand charakterisiert, weggelassen werden. Dadurch wird das Symbol i wieder als Index für andere Größen verwendbar. Eine einfache Entkopplung des Schwingungsproblems in unabhängige eindimensionale Bewegungen gelingt, wenn man die Entwicklung nach dem quadratischen Term abbricht (harmonische Näherung). Der Hamiltonoperator der Kernbewegungen lautet dann: Hˆ ker n r ( R) = 1 2 r P r r r 1 2 P P M 1 1 i i [ M ] P + 2 RV2R = ∑ + ∑ i i 1 2 i, j ij i . k R R . Dabei bedeutet R r die Auslenkung der Kerne aus ihren Ruhelagen (Minimum der Energie um welches das Potential entwickelt wurde). Dies ist ein 3N-dimensionaler Vektor, wenn N 1 Kerne im 3-dimensionalen Raum betrachtet werden. [ M ] symbolisiert dabei den reziproken Massetensor, der bereits in diagonalisierter Form vorliegt. Entkopplung in einzelne Normalschwingungen liegt vor, wenn sowohl der reziproke Massetensor als auch die dynamische Matrix V 2 gleichzeitig in Diagonalform vorliegen. Dies erreicht man mit einer Verzerrung des Raumes und einer anschließenden orthogonalen Transformation. Der reziproke Massetensor, der ja bereits in Diagonalform vorliegt, wird dabei in die neuen Koordinaten mit einbezogen: ~ P = i P i M i . Daraus ergibt sich für die Ortskoordinate: ~ R = i M R . i i In diesem neuen Koordinatensystem, welches in den einzelnen Koordinaten im Verhältnis der ~ &~ ~ r ~ &r Wurzeln der Massen verzerrt ist gilt: Pi = Ri bzw. P = R und der Hamiltonoperator vereinfacht sich zu: Hˆ ker n ~ r ( R) = 1 2 ~ r ~ r PP + 1 2 ~ r ~ ~ r RV R = 2 1 ~ ~ 1 ∑ Pi Pi + 2 2 i ∑ i, j k M ij i M j j ~ ~ R R . i j
P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 29 Dabei reduziert der reziproke Massetensor zur Einsmatrix (und ist in der letzten Gleichung nicht explizit angeschrieben) und die einzige zu diagonalisierende Matrix ist die modifizierte dynamische Matrix. Dies geschieht durch eine orthogonale Transformation U in neue Koordinaten, die sogenannten Normalkoordinaten Q U R ~r r = . Damit ist das Bewegungsproblem gelöst, da es in einzelne unabhängige harmonische Oszillatoren zerfällt. Hˆ ker n r ( Q) = 1 2 &r &r QQ + 1 2 r Q r 2 1 1 2 [ ω ] Q = ∑ { Q& iQ& 2 i + 2 ωi QiQi } = ∑ i Die neue dynamische Matrix besitzt dabei nur Diagonalelemente, welche den Quadraten der Frequenzen entsprechen. Quantenmechanische Lösung des harmonischen Oszillators: Wir betrachten den Hamiltonoperator der Form: Hˆ 1 1 2 ( Q) = Q& Q& + Qω Q bzw. 2 2 2 ˆ p 1 1 H ( x) = 2 + 2 kx 2m in nicht massegewichteten Koordinaten. Dies führt zu der Schrödingergleichung: 2 ⎧ 2 d 2 2 ⎫ 1 1 ⎨− 2 h + 2 ω Q ψ ( Q) = Eψ ( Q) 2 ⎬ . ⎩ dQ ⎭ Mit den Substitutionen: ω 2E z = Q und a = h hω vereinfacht sich die Differentialgleichung zu: ⎧ ⎨ ⎩ d dz ⎫ ⎬u( z) = au( z) ⎭ d u dz 2 2 2 2 − + z bzw. + ( a − z ) u = 0 2 2 Im Fall von nicht massegewichteten Koordinaten müsste man substituieren: ωm z = x mit h k ω = . m Lösungen der Differentialgleichung bekommt man mit dem allgemeinen Ansatz: 2 z − 2 u( z) = y( z) e . 2 . i Hˆ i .
Seite 1 und 2: P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im
Seite 27: P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im

jeweils Di., 11.00 - 12.30 Uhr Ort - KFU

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?