jeweils Di., 11.00 - 12.30 Uhr Ort - KFU

P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 28
4 Gitterdynamische Anregungszustände
4.1 Phononen
Aus der Born-Oppenheimer Näherung folgt, dass das Problem der Kernbewegungen separat
im Potential der Kernabstoßungen und der Elektronen (Gesamtenergie) gelöst werden kann.
Das Potential wird dazu zweckmäßiger Weise in eine Reihe entwickelt.
E
i
el
r r r r
( ˆ
i i 1 i
+ H ( R)
) = V + V R + RV
R + .......... .......
r
( R)
K , K
0 1
2
2
i
i
Dabei kann V 0 beliebig gewählt werden (Nullpunkt des Potentials) und der lineare Term V 1
verschwindet, wenn um das Minimum der Energie in der Positionierung der Kerne entwickelt
wird. Im weiteren soll zur Vereinfachung der hochgestellte Index i, welcher den i-ten
elektronischen Zustand charakterisiert, weggelassen werden. Dadurch wird das Symbol i
wieder als Index für andere Größen verwendbar. Eine einfache Entkopplung des
Schwingungsproblems in unabhängige eindimensionale Bewegungen gelingt, wenn man die
Entwicklung nach dem quadratischen Term abbricht (harmonische Näherung). Der
Hamiltonoperator der Kernbewegungen lautet dann:
Hˆ
ker n
r
( R)
=
1
2
r
P
r
r
r
1
2
P P
M
1 1
i i
[ M ] P + 2 RV2R
= ∑ + ∑
i i
1
2
i,
j
ij
i
.
k R R .
Dabei bedeutet R r die Auslenkung der Kerne aus ihren Ruhelagen (Minimum der Energie um
welches das Potential entwickelt wurde). Dies ist ein 3N-dimensionaler Vektor, wenn N
1 Kerne im 3-dimensionalen Raum betrachtet werden. [ M ] symbolisiert dabei den reziproken
Massetensor, der bereits in diagonalisierter Form vorliegt. Entkopplung in einzelne
Normalschwingungen liegt vor, wenn sowohl der reziproke Massetensor als auch die
dynamische Matrix V 2 gleichzeitig in Diagonalform vorliegen. Dies erreicht man mit einer
Verzerrung des Raumes und einer anschließenden orthogonalen Transformation. Der
reziproke Massetensor, der ja bereits in Diagonalform vorliegt, wird dabei in die neuen
Koordinaten mit einbezogen:
~
P =
i
P
i
M
i
.
Daraus ergibt sich für die Ortskoordinate:
~
R =
i
M R .
i
i
In diesem neuen Koordinatensystem, welches in den einzelnen Koordinaten im Verhältnis der
~ &~ ~ r ~ &r
Wurzeln der Massen verzerrt ist gilt: Pi
= Ri
bzw. P = R und der Hamiltonoperator
vereinfacht sich zu:
Hˆ
ker n
~ r
( R)
=
1
2
~ r ~ r
PP
+
1
2
~ r ~ ~ r
RV
R =
2
1 ~ ~ 1
∑ Pi
Pi
+
2 2
i
∑
i,
j
k
M
ij
i
M
j
j
~ ~
R R .
i
j