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P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 24 1 S r ( ω) = G N ∫ V r r drS( r, ω) e rr iGr = 1 N ∫ dr∑r V r r t , b r S ( ρ, ω) e r r r r r r 1 r iGt iGb r r r iGρ iGb r r = ∑e ∑e ∫ dρS r ( ρ, ω) e = b ∑e ∫ dρS r ( ρ, ω) e r r b N r t b V b V r r r Für die Streuamplitude eines Bragg-Reflexes bei ki − ks = G erhält man: r r r r iGb r r r iGρ E ( G) = S r ( ω ) E NV = E NV e dρS r ( ρ, ω) e E NV s r r Mit f = b ∫ dρS ρ ω e b r r ( , ) S ) r (ω G V ∑ = r b e r r iGb f r b erhält man schließlich zu: G i r r iGρ E i r b rr iGr ∑ ∫ = b E r b V i r r iGρ ∑ E r b wurde der Atomformfaktor eingeführt. Die Fourier-Amplitude wird in diesem Zusammenhang Strukturfaktor genannt. Die Intensität des Bragg Reflexes r I ( G) = I Streuung an Mischkristallen: s i 2 2 * ( S r ( ) NV ) = I ( NV ) S r ( ω) S r ( ω) ω G E i E G G Man berücksichtigt, dass der Atomformfaktor nicht mehr entsprechend der Translationssymmetrie im Raum r verteilt ist. Also muss er als Funktion des Translationsvektors aufgefasst werden: r ⇒ f r (t ) . Ist c die Konzentration von Atomsorte A am Gitterplatz (und (1-c) von Atomsorte B) so ist: r r f r ( t ) = Fr + ( f r ( A) − f r ( B) ) τ r ( t ) mit dem Mittelwert Fr = cf r (A) + ( 1 − c) f r (B) . Die Funktion b b b b b b b b r τ r (t ) hat den Wert (1-c) falls Atomsorte A auf t r ist, bzw. (-c) für Atom B. Für die Intensität des Bragg- b Reflexes folgt: r I s ( G) I V ⎝ e r r iGb fb b 2 r r ⎛ rr r iGt ⎜ ⎢ e τ r ( t r r r r r b t b b b t 2⎛ r r r r r r r iGt iGb ⎞ 2 iGb ⎡ iGb = ⎜∑ ∑ ( ) ⎟ = ⎜ i E e e f r t I iVE ∑ e NFr + ∑ e ( f r ( A) − f r ( B) ) b b b b ∑ ⎠ ⎝ Der erste Term entspricht dabei dem normalen Bragg-Reflex, während der zweite Term diffuse Röntgenstreuung verursacht. Für eine einatomige Basis erhält man für die diffuse Intensität: 2 r r 2 2 ⎡ r r iGt ⎤ I D ( G) = IiVE [ f ( A) − f ( B) ] ⎢∑ e τ ( t ) r ⎥ ⎣ t ⎦ r Aus der diffusen Streuung lassen sich Rückschlüsse auf τ (t ) erzielen. Dies erfolgt in der Röntgen- Kleinwinkelstreuung an Poren, Körnern und Einschlüssen. Porod-Gesetz: (Poren eines Katalysators) r r 2 −4 2 I D ( G) ≈ I iVE [ f ( A) − f ( B) ] 2π S G wobei S die Oberfläche der Poren bezeichnet. Dieses Gesetz ergibt sich als Spezialfall von Fraktalen: ( ) ∝ −6 d I r G r G wobei d die Dimension des Oberflächenfraktals bedeutet. Mit d=2 erhält man das Porod-Gesetz. Thermische Fluktuationen: (Debye-Waller-Faktor) D Die Positionen der Atome am Gitterplatz t r schwanken mit der Auslenkung ur t r , also t u t t r r r r = 0 + . Die Summation über die Translationsvektoren des Gitters wird damit: rr r r r rr r r iGt iG( t + ur t ) iGt iGur 0 0 t ∑ e = ∑ e = ∑ e e r t r t Es gilt den thermischen Mittelwert der durch thermische Fluktuationen verursachten Terms zu bestimmen: r r r r 1 2 2 2 r iGur r r 2 r 2 − G u t 1 1 6 e = 1 + iGur − Gur + ....... = 1 + 0 − G ur + ..... = e t 2 ( ) t b r r t 6 ⎣ t f r b ⎤⎞ ) ⎥ ⎟ ⎦⎠ 2
P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 25 Hier wurde davon ausgegangen, dass die ungeraden Potenzen der Entwicklung in der Mittelung verschwinden, da die Auslenkungen gegenüber den vorgegebenen reziproken Gittervektoren völlig unkorreliert sind. Die Mittelung des quadratischen Terms erfolgt als geometrisches Mittel von cos über eine Kugel. Für einen harmonischen Oszillator entspricht die Reihenentwicklung wieder einer Exponentialfunktion. Die Intensität des Bragg-Reflexes ergibt sich dann: 2 2 u G I ( G) = I s r − i 2 2 2 G u * ( NV ) e S r ( ) S r ( ω) E G ω G Der Zusätzliche Faktor e − wird Debye-Waller-Faktor genannt und bewirkt eine Intensitätsabnahme der Röntgenstreuung, die umso stärker ist, desto größer |G| und die Temperatur T ist. Im einfachen klassischen Bild (entspricht quantenmechanisch dem Fall starker Besetzung) wächst 2 u 3kT = linear mit der Temperatur 2 Mω an. (Der entsprechende quantenmechanische Ausdruck für einen 3-dimensionalen harmonischen Oszillator wäre: 2 u ⎛ ⎞ 3h ⎜ 1 1 = ⎟ ⎜ + .) hω Mω 2 ⎟ kT ⎝ e − 1 ⎠ 3.3 inelastische Streumethoden Neben der (quasi-) Impulserhaltung gilt für den Energieübertrag die Energieerhaltung: Es = Ei ±∆E oder ωs = ωi ± ∆ ω r r r r r r h r r p = p ± ∆p+ n G oder k = k ± ∆k + nG s i s i Wird beim Streuprozess eine quasi-Teilchenanregung des Festkörpers absorbiert, so wird die Energie des streuenden Teilchens vergrößert. (Es steht das + Zeichen). Dies setzt die Existenz von quasi-Teilchen voraus und ist nur bei endlicher Temperatur möglich. Die Emission von quasi-Teilchen ist bei jeder Temperatur möglich und wird durch das - Zeichen beschrieben. Ist ϑ der Winkel zwischen dem gestreuten und einfallenden Strahl so liefert die Impulserhaltung für die Beträge der Wellenvektoren: 2 2 ∆k = k + k −2k k cosϑ oder i s i s 2 2 k = k cos ϑ ± k (cos ϑ − 1) + ∆k 2 s i i Dies ergibt je nach verwendeter Teilchenart charakteristische Kurven im Energie- Impulsdiagramm (∆ω(∆k)) entlang welcher die Brillouinzone bei einelastischer Spektroskopie untersucht wird. a) Klassische Teilchen (Ruhemasse M, v
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