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P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 24
1
S r ( ω)
= G
N
∫
V
r r
drS(
r,
ω)
e
rr
iGr
=
1
N
∫ dr∑r
V
r
r
t , b
r
S ( ρ,
ω)
e
r r r
r
r r
1 r
iGt
iGb
r r r
iGρ
iGb
r r
= ∑e
∑e ∫ dρS
r ( ρ,
ω)
e =
b ∑e ∫ dρS
r ( ρ,
ω)
e
r
r
b
N r
t b V
b V
r r r
Für die Streuamplitude eines Bragg-Reflexes bei ki − ks = G erhält man:
r
r r
r
iGb
r r r
iGρ
E ( G)
= S r ( ω ) E NV = E NV e dρS
r ( ρ,
ω)
e E NV
s
r r
Mit f = b ∫ dρS
ρ ω e
b
r
r ( , )
S ) r (ω
G
V
∑
=
r
b
e
r r
iGb
f
r
b
erhält man schließlich zu:
G
i
r r
iGρ
E
i
r
b
rr
iGr
∑ ∫ =
b
E r
b V
i
r r
iGρ
∑
E r
b
wurde der Atomformfaktor eingeführt. Die Fourier-Amplitude
wird in diesem Zusammenhang Strukturfaktor genannt. Die Intensität des Bragg Reflexes
r
I ( G)
= I
Streuung an Mischkristallen:
s
i
2
2
*
( S r ( ) NV ) = I ( NV ) S r ( ω)
S r ( ω)
ω G
E i E G G
Man berücksichtigt, dass der Atomformfaktor nicht mehr entsprechend der Translationssymmetrie im Raum
r
verteilt ist. Also muss er als Funktion des Translationsvektors aufgefasst werden: r ⇒ f r (t ) . Ist c die
Konzentration von Atomsorte A am Gitterplatz (und (1-c) von Atomsorte B) so ist:
r
r
f r ( t ) = Fr
+ ( f r ( A)
− f r ( B)
) τ r ( t ) mit dem Mittelwert Fr = cf r (A)
+ ( 1 − c) f r (B)
. Die Funktion
b
b b
b b
b b
b
r
τ r (t ) hat den Wert (1-c) falls Atomsorte A auf t r ist, bzw. (-c) für Atom B. Für die Intensität des Bragg-
b
Reflexes folgt:
r
I s ( G)
I V
⎝
e
r r
iGb
fb b
2
r r ⎛
rr
r iGt
⎜
⎢
e τ r ( t
r r
r
r
r b
t b
b
b
t
2⎛
r r r
r r
r r
iGt
iGb
⎞
2 iGb
⎡ iGb
= ⎜∑
∑ ( ) ⎟ = ⎜
i E e e f r t I iVE
∑ e NFr
+ ∑ e ( f r ( A)
− f r ( B)
)
b
b
b
b ∑
⎠
⎝
Der erste Term entspricht dabei dem normalen Bragg-Reflex, während der zweite Term diffuse Röntgenstreuung
verursacht. Für eine einatomige Basis erhält man für die diffuse Intensität:
2
r
r
2
2 ⎡ r r iGt
⎤
I D ( G)
= IiVE
[ f ( A)
− f ( B)
] ⎢∑
e τ ( t )
r ⎥
⎣ t ⎦
r
Aus der diffusen Streuung lassen sich Rückschlüsse auf τ (t ) erzielen. Dies erfolgt in der Röntgen-
Kleinwinkelstreuung an Poren, Körnern und Einschlüssen.
Porod-Gesetz: (Poren eines Katalysators)
r
r 2
−4
2
I D ( G)
≈ I iVE
[ f ( A)
− f ( B)
] 2π
S G wobei S die Oberfläche der Poren bezeichnet. Dieses Gesetz ergibt
sich als Spezialfall von Fraktalen: ( ) ∝
−6
d
I
r
G
r
G wobei d die Dimension des Oberflächenfraktals bedeutet.
Mit d=2 erhält man das Porod-Gesetz.
Thermische Fluktuationen: (Debye-Waller-Faktor)
D
Die Positionen der Atome am Gitterplatz t r schwanken mit der Auslenkung ur t r , also t u t t
r
r r r
= 0 + . Die
Summation über die Translationsvektoren des Gitters wird damit:
rr
r r r
rr
r r
iGt iG(
t + ur
t ) iGt
iGur
0
0 t
∑ e = ∑ e = ∑ e e
r
t
r
t
Es gilt den thermischen Mittelwert der durch thermische Fluktuationen verursachten Terms zu bestimmen:
r r r r
1 2 2
2
r
iGur
r r
2 r 2
− G u
t
1
1
6
e = 1 + iGur
− Gur
+ ....... = 1 + 0 − G ur
+ ..... = e
t
2
( )
t
b r
r
t
6
⎣
t
f
r
b
⎤⎞
) ⎥ ⎟
⎦⎠
2