jeweils Di., 11.00 - 12.30 Uhr Ort - KFU

P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 23
r r r
ikir
Streuamplitude der Röntgenbeugung: Mit Eie
als einfallende Feldstärke der Röntgenstrahlung am
Ort r mit Wellenvektor i kr d Es
( r )
ergibt sich die gestreute Feldstärke
dV
'
r r
mit Wellenvektor ks im Volumen
dV:
r
r r '
d Es
( r )
r
r r r
r r
2 χ(
, ω)
ikir
r ikir
= ω sinϑ
r r Ei
e = S(
r,
ω)
Eie
2 '
dV
4πc
r − r
r
Dabei wurde die Streuamplitude S ( r,
ω)
eingeführt. Im weiteren wird angenommen, dass der Ort '
r im
'
großen Abstand zum Festkörper liegt, also r − r ≈ R = const.
r r
o
und ϑ ≈ 90 ist. Die gestreute Welle
'
( )
' r k i r
r r r r
r
s
Es
r = Ese
erhält man durch die Integration dV = dr
über das Festkörpervolumen V.
r r r
r r
r
r
r
r
'
r
'
iksr
iks
r −R
r ik
r r i
d E ( r ) = d E e = dE e = S(
r,
) E e dr
E e
=
s
=
s
∫
∫ dr
E 2 i∑
r
V
r
i ks
R
V
2
r ω
4πc
R
r
S(
r,
ω)
E e
G
( ) ( )
s
s
i
r r
−iksr
r
dr
=
∫
r r r r
r r r
i(
k −k
−G
) r
r
i s
i(
ki
−ks
−G
χ e = S E dre
)
r ( ω)
r ( ω)
G
r r
ikir
e
V
ω
2
r ω r
dr
χ(
r,
ω)
Eie
2
4πc
R
∑r G i∫
G V
Die Integration über das Kristallvolumen V kann in eine Summe über die N Elementarzellen (charakterisiert
durch den Translationsvektor t r )und eine Integration über die Elementarzelle (Koordinate rt r
r und Volumen
r r r
V ) aufgeteilt werden. Mit r = ∑ r + t erhält man:
E
E e
s
r
i ks
R
=
r
t
t
i
r r
ikir
e
r r
−iksr
r r r
r r r
r
r
r
i(
ki
−ks
−G
) r
i(
ki
−ks
−G
=
) t r ( i s
( ω ) E dre
S E e dr
e
)
r ( ω)
r
∑ S r
r G i∫
G V
∑rG i∑r
∫
G t VE
t
r
r r r r
i k −k
−G
r
Wird über alle Elementarzellen innerhalb der periodischen Randbedingungen summiert, so liefert
∑
r
t
r r r r
i ki
−ks
−G
) t
e
(
nur dann von Null verschiedene Werte, wenn das Argument der Exponentialfunktion 0 oder ein
Vielfaches von 2π ist. Also:
r
ki r r
− ks
= nG
Dies stellt die quasi-Impulserhaltung im Festkörper dar. (Quasi, da der Impuls nur auf Vielfache n von
reziproken Gittervektoren G r r r
erfüllt ist.) Dies entspricht der Bragg-Bedingung. Stehen ki und ks mit
r r 2π
r 2π
ki = ks
= k = jeweils im Winkel ϕ zu den Gitterebenen mit dem Abstand d ( G = ), so folgt:
λ
d
r r
2π
r 2π
ki − ks
= 2 k sinϕ
= 2 sinϕ
= n G = n oder 2 d sinϕ
= nλ
.
λ
d
r
Für einen speziellen Bragg-Reflex entsprechend der Gitterebenen mit reziproken Gittervektor G erhält man:
r
r r r r
r r r
( ) ( )
r r
i k k G t r
r
r
i − s −
i ki
−ks
−G
r
t
( G)
S r ( ω ) E e d r re
= S r ( ω)
E NV δ ( k − k − G)
Es G i
r
t
G i E i s
t VE
r r r r
( )
r r r
i ki
−ks
−G
t
∑e
= N ( ki
− ks
− G)
r
t
Hier wurde die Identität
= ∑ ∫
δ verwendet, wodurch die Volumsintegration
einfach durchgeführt werden konnte. Die Fourier-Amplitude S ) G
r kann durch ein Integral dargestellt
werden, dessen Integrationsvariable d r über alle Orte innerhalb der periodischen Randbedingungen läuft. Wir
zerlegen
r
S( r,
ω)
r
in die Beiträge der einzelnen Atome (Koordinate ρ r ), wobei wir noch zwischen den
Basisatomen einer Elementarzelle (Ortsvektor b r ) und die um einen Translationsvektor t r verschobenen
gleichen Atome in der Koordinate unterscheiden. Mit ρ r
r r r
r = t + b + erhält man:
(ω
t