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P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 22 r 2 r dv d p 2 r (Im Fall eines mit Frequenz ω oszillierenden Dipols: e = = −ω p ) 2 dt dt Die in den Raumwinkel Ω abgestrahlte Leistung ist: dPs dΩ r dv = e dt 2 2 sin ϑ 2 3 8π ε c 0 dP sin ϑ 2 s 4 2 bzw. = s p 2 3 dΩ 8π ε 0c ω r Energie- Impulsbeziehung für elektromagn. Strahlung (relativ. Teilchen): E = h c / λ, daraus ergibt sich als charakt. Wellenlänge λ[nm] = 1.24 / E[keV] Wechselwirkung mit Materie: (Wechselwirkung von E r mit Ladungen q) Oszillatormodell der dielektrischen Funktion: Bewegungsgleichung: m d 2 x/dt 2 + m γ dx/dt + k x = q E mit E=E 0 e iωt . Lösung: Amplitude x 0 (ω) = (q E 0 /m) / (ω 0 2 - ω 2 + iγω) mit ω0 2 ≅k/m. Daraus ergibt sich ein oszillierendes Dipolmoment (mit Amplitude) : p 0 (ω) = q x 0 (ω) Falls mehrere Oszillatoren vorhanden sind, so setzen sich die jeweiligen Dipolmomente zu einem Gesamtdipolmoment zusammen. Die charakteristische Stoffeigenschaft wird durch das Verhalten der Polarisation (Dipolmomente p pro Volumen V) mit anregender Feldstärke E r beschrieben. Im allgemeinen kann man dafür eine Potenzreihenentwicklung ansetzen: r r p r t r r r r r r ( 1) ( 2) ( 3) P = = P0 + ε 0[ χ E + χ E1E2 + χ E1E2 E3 + ........ ] . V t ( 1) wobei der lineare Anteil durch den komplexen Tensor 2.Stufe χ , der elektrischen linearen Suszeptibilität, beschrieben wird. Im Oszillatormodell erhält man: 2 2 t ( 1) q 1 q χ ( ω) = = G( ω) 2 2 ε mV ω − ω + iγω ε V 0 0 oder falls j Oszillatoren beitragen: 2 2 q j q ( 1) 1 j χ ( ω) = ∑ = ∑ G 2 2 j j ε 0m jV ω j − ω + iγ jω j ε 0V t t ( 1) t ( 1) Daraus ergibt sich die dielektrische Funktion ε ( ω) = 1 + χ ( ω) oder ε ( ω) = ε ∞ + χ ( ω) falls Beiträge von höherfrequenten Oszillatoren mit ε ∞ berücksichtigt werden (z.B. elektronische Beiträge bei Phononen). Die dielektrische Funktion (oder Suszeptibilität) stellt den Spezialfall einer komplexen Antwortfunktion bei linear kausalem Verhalten dar. (linear response). Translationseigenschaften der dielektrischen Suszeptibilität: Wir betrachten χ (ω) am Ort r , also χ( r, ω) r . Wegen der Translationssymmetrie muss gelten: r r r χ( r + t , ω) = χ( r, ω) , wobei t r ein beliebiger Translationsvektor des Gitters ist. In der Fourier- Entwicklung treten dann nur die Translationsvektoren des reziproken Gitters, die reziproken Gittervektoren r G auf. r r r −iGr χ ( r, ω) χ r ( ω) e ∑ = r G Ähnliche Fourierentwicklungen ergeben sich für die Suszeptibilität und weitere daraus abgeleitete Größen. G 0
P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 23 r r r ikir Streuamplitude der Röntgenbeugung: Mit Eie als einfallende Feldstärke der Röntgenstrahlung am Ort r mit Wellenvektor i kr d Es ( r ) ergibt sich die gestreute Feldstärke dV ' r r mit Wellenvektor ks im Volumen dV: r r r ' d Es ( r ) r r r r r r 2 χ( , ω) ikir r ikir = ω sinϑ r r Ei e = S( r, ω) Eie 2 ' dV 4πc r − r r Dabei wurde die Streuamplitude S ( r, ω) eingeführt. Im weiteren wird angenommen, dass der Ort ' r im ' großen Abstand zum Festkörper liegt, also r − r ≈ R = const. r r o und ϑ ≈ 90 ist. Die gestreute Welle ' ( ) ' r k i r r r r r r s Es r = Ese erhält man durch die Integration dV = dr über das Festkörpervolumen V. r r r r r r r r r ' r ' iksr iks r −R r ik r r i d E ( r ) = d E e = dE e = S( r, ) E e dr E e = s = s ∫ ∫ dr E 2 i∑ r V r i ks R V 2 r ω 4πc R r S( r, ω) E e G ( ) ( ) s s i r r −iksr r dr = ∫ r r r r r r r i( k −k −G ) r r i s i( ki −ks −G χ e = S E dre ) r ( ω) r ( ω) G r r ikir e V ω 2 r ω r dr χ( r, ω) Eie 2 4πc R ∑r G i∫ G V Die Integration über das Kristallvolumen V kann in eine Summe über die N Elementarzellen (charakterisiert durch den Translationsvektor t r )und eine Integration über die Elementarzelle (Koordinate rt r r und Volumen r r r V ) aufgeteilt werden. Mit r = ∑ r + t erhält man: E E e s r i ks R = r t t i r r ikir e r r −iksr r r r r r r r r r i( ki −ks −G ) r i( ki −ks −G = ) t r ( i s ( ω ) E dre S E e dr e ) r ( ω) r ∑ S r r G i∫ G V ∑rG i∑r ∫ G t VE t r r r r r i k −k −G r Wird über alle Elementarzellen innerhalb der periodischen Randbedingungen summiert, so liefert ∑ r t r r r r i ki −ks −G ) t e ( nur dann von Null verschiedene Werte, wenn das Argument der Exponentialfunktion 0 oder ein Vielfaches von 2π ist. Also: r ki r r − ks = nG Dies stellt die quasi-Impulserhaltung im Festkörper dar. (Quasi, da der Impuls nur auf Vielfache n von reziproken Gittervektoren G r r r erfüllt ist.) Dies entspricht der Bragg-Bedingung. Stehen ki und ks mit r r 2π r 2π ki = ks = k = jeweils im Winkel ϕ zu den Gitterebenen mit dem Abstand d ( G = ), so folgt: λ d r r 2π r 2π ki − ks = 2 k sinϕ = 2 sinϕ = n G = n oder 2 d sinϕ = nλ . λ d r Für einen speziellen Bragg-Reflex entsprechend der Gitterebenen mit reziproken Gittervektor G erhält man: r r r r r r r r ( ) ( ) r r i k k G t r r r i − s − i ki −ks −G r t ( G) S r ( ω ) E e d r re = S r ( ω) E NV δ ( k − k − G) Es G i r t G i E i s t VE r r r r ( ) r r r i ki −ks −G t ∑e = N ( ki − ks − G) r t Hier wurde die Identität = ∑ ∫ δ verwendet, wodurch die Volumsintegration einfach durchgeführt werden konnte. Die Fourier-Amplitude S ) G r kann durch ein Integral dargestellt werden, dessen Integrationsvariable d r über alle Orte innerhalb der periodischen Randbedingungen läuft. Wir zerlegen r S( r, ω) r in die Beiträge der einzelnen Atome (Koordinate ρ r ), wobei wir noch zwischen den Basisatomen einer Elementarzelle (Ortsvektor b r ) und die um einen Translationsvektor t r verschobenen gleichen Atome in der Koordinate unterscheiden. Mit ρ r r r r r = t + b + erhält man: (ω t
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