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P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 21
3.2 Bestimmung von Suszeptibilitäten
allgemein: Bei Vorliegen von Kausalitäten charakterisiert das physikalische Verhalten die
Antwortfunktion (Suszeptibilität).
Verhalten von Antwortfunktionen: Reaktion einer Auslenkung X (ω)
auf eine Kraft F (ω)
bei
Frequenz ω:
X ( ω) = G(
ω)
F(
ω)
mit G (ω)
als lineare Antwortfunktion oder Green'sche Funktion.
Für ein Modell aus mehreren Oszillatoren (z.B. mehrere harmonische Oszillatoren mit Massen mj, den
1 1
Frequenzen ωj und den Dämpfungen γj ergibt sich: G ( ω)
= ∑G j ( ω)
= ∑ 2 2
m ω − ω + iγ
ω
j
j j
(Die dielektrische Funktion würde sich mit Hilfe der Green'schen Funktionen Gj und den Ladungen qj
2
2
q j q j
folgendermaßen anschreiben lassen: ε ( ω)
= 1 + ∑ G j bzw. ε ( ω)
= ε ∞ + ∑ G j
V
V
j
G j (ω) ist die entsprechende spezielle Green'sche Funktion für die Frequenz ω des j-ten Oszillator. Die
zusammengesetzte Green'sche Funktion (und auch die Suszeptibilität bzw. dielektrische Funktion) ist
j 2
eine komplexe Funktion mit Polen in der komplexen Ebene an den Stellen: ω = 2 ± ω j − 4 .
ε
0
j
j
ε
0
2
iγ γ j
Für komplexe Funktionen G(ω) mit den Eigenschaften:
1. alle Pole auf einer Seite der reellen Achse
2. für ω → ∞ gilt G ( ω)
→ 0 , die Funktion verschwindet im Unendlichen.
(Streng genommen genügt es, dass das Integral entlang eines unendlichen Halbkreises von
G(
ω )
verschwindet.)
ω
3. für reelle ω ist Re{G(ω)}=G ' (ω) gerade und Im{G(ω)}=G ''' (ω) ungerade.
gelten die Kramers-Kronig Beziehungen, wobei P den Hauptwert des Integrals meint:
Kramers-Kronig Beziehungen:
''
' 2 νG
( ν )
G ( ω)
= P ν 2 2
π ∫ d
v − ω
∞
0
'
' ' 2ω
G ( ν )
G ( ω)
= P ν 2 2
π ∫ d
v − ω
∞
0
Beispiel für dielektrisches Verhalten: die Röntgenbeugung: (Dies stellt eine elastische Streuung
dar und misst daher zunächst die Grundzustandsenergie; das ist im Besonderen die Elektronendichteverteilung
des Grundzustandes. Allerdings geht der Streumechanismus über sogenannte "virtuelle" Anregungen der
Elektronen und in den Streuintensitäten könnte man über Resonanzerscheinungen elektronische Anregungen
nachweisen.)
Erzeugung der Röntgenstrahlung: Bremsstrahlung, Anregung von atomaren Übergängen
(z.B. zwischen L und K Schale), Synchrotron
Abstrahlung von elektromagnetischer Strahlung E r einer beschleunigten Ladung e im
Abstand
R und Winkel ϑ zur Geschwindigkeitsänderung:
r
r
dv
sinϑ
E =
e
2
dt 4πε
c R
0
j