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P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 18 2.4 Die Translationssymmetrie von Festkörpern Der Festkörper (Einkristall) ist durch regelmäßige Atomanordnung charakterisiert. Dabei wird eine Atomgruppe (Basis) durch Translationsvektoren über den ganzen Raum verteilt. Klassifikation von Zuständen nach den irreduziblen Darstellungen der Translationsgruppe. Die Charaktere sind komplexe Zahlen der Gestallt: eikr mit zyklischen Randbedingungen: f(r+L) = f(r) (f beliebige Funktion) ergeben sich diskrete k Werte mit: k = n 2π/L mit n =0,1,2,........ am diskreten Gitter mit Translationsvektor a (L = N a) ist k auf das Intervall 0
P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 19 r r ⎡ r r ( ai⋅aj) r 2π ai − a ⎤ j 2 a j Gi = ⎣⎢ ⎦⎥ r r ⎡ 2 ( ai⋅aj) ai − ⎤ 2 a ⎣⎢ j ⎦⎥ r r a G = 2 2 a (2Dim) und π (1Dim) mit i,j,l ungleich. Im Festkörper sind die Zustände gleichmäßig im reziproken Raum verteilt. Da zur Berechnung der Zustände gerne eine Integration über die Energie gemacht wird, braucht man die Zustandsdichte g(ε) mit dN = g(ε) dε. Anregungen des Festkörpers: Gitterschwingungen (Phononen), elektronische Anrgegungen (Elektron-Loch-Paar, Exzitonen, etc.), Spinanregungen (Magnonen), gekoppelte Zustände (Polaronen, Solitonen, Polaritonen etc.) Gitterschwingungen der eindimensionalen Kette N gleichartige Atome der Masse M im Abstand a durch Federkräfte verbunden. Ergebnis: akustischer Phononzweig Übergang auf 2-atomige lineare Kette: 1. Verdopplung der Elementarzelle auf 2a (Halbierung der Brillouinzone) 2. Aufspaltung entarteter Punkte in der Brillouinzone 3. Ergebnis: akustischer und optischer Phononzweig Elektron-Loch-Paar-Anregungen In Metallen ein Kontinuum von k=0 und ω=0 an. Das Plasmon als longitudinale Anregung schneidet dieses Kontinuum. In Isolatoren beginnt dieses Kontinuum erst bei Energien über dem Gap. Spin-Anregungen Der Spin der Elektronen kann bei einigen Substanzen durch Lokalisierung zu lokalen magnetischen Momenten führen oder durch starke Spinpolarisierung der Bänder ebenfalls zu makroskopischer Magnetisierung führen. Die Spins der Elektronen können dabei ebenfalls unter Energieaufwendung ausgelenkt werden. Diese Anregungen werden, wenn sie als Spinwellen vorliegen, als Magnonen beschrieben, welche eine ähnliche Dispersionsrelation wie die Phononen aufweisen.
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