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P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 16
2.3 Die chemische Bindung (Moleküle)
Moleküle: Mehrere Atome können zu Molekülen aneinander gebunden (chemische Bindung) sein. Dabei
wirken anziehende Coulomb-Kräfte zwischen den Elektronen und den Atomkernen und abstoßende zwischen
den Elektronen und zwischen den Atomkernen.
Allgemeines Prinzip: Zwei in Wechselwirkung stehende Energieniveaus spalten auf. (z.B. 2 gekoppelte
Pendel) Dies bedeutet, dass 2 H Atome im unendlich weiten Abstand (keine Wechselwirkung) zweifach
entartete Energiezustände haben. (z.B. ist die Energie des 1s Zustandes 2mal vorhanden, einmal am Atom A und
einmal am Atom B) Wird der Abstand verringert wirken die Coulombpotentiale zwischen den Atomen. Durch
die Wechselwirkung spalten die entarteten Energieniveaus auf. Zum Beispiel entstehen bei 2 H Atomen aus den
2fach entarteten 1s Zustände ein in der Energie etwas niedriger Zustand (bindend) und ein in der Energie etwas
höherer Zustand (antibindend). Da die Wechselwirkung zwischen den Atomen vom Abstand abhängig ist,
variiert die Aufspaltung der Energieniveaus mit dem Abstand (Potentialkurven), Die niedrigste Potentialkurve
zeigt dabei bei vorliegen einer chemischen Bindung ein deutliches Minimum beim Bindungsabstand. Die
Potentialkurve stellt das Potential für die Schwingung der Atomkerne dar. Die Quantenmechanik gilt auch hier
und gibt konkrete Schwingungsniveaus als Lösung an. Als weitere Freiheitsgrade der Moleküle sind die
Rotationen der gesamten Molekülanordnung (in Rotationszustände gequantelt) und die kontinuierlichen
Translationszustände der gesamten Molekülanordnung.
Stehen mehrere Atome (N Atome) in Wechselwirkung spalten die mehrfach (N-fach) entarteten Energieniveaus
in mehrere (N) Energien (elektronische Molekülstruktur) auf. Sind es fast unendlich viele Atome (Festkörper,
N=10 23 ) in Wechselwirkung, so spalten die Energien in unendlich dicht liegende Niveaus auf, ein quasi-
Energiekontinuum oder Energieband entsteht (elektronische Bandstruktur).
Zusammenfassung:
Durch Kopplung der Atomorbitale Aufspaltung der Energieniveaus in bonding und
antibonding Orbitale
Potentialkurve: Gesamtenergie als Funktion des Atomabstandes. bonding: hat Minimum
niedrigere Energie als getr. Atome
antibonding: höhere Energie als getrennte Atome
Krümmung der Potentialkurve im Minimum entspricht der Schwingungsfrequenz
Besetzung der Molekül bzw. Festkörperorbitale mit Elektronen nach Pauliprinzip:
Im Fall von H 2 Singlett und Triplett Zustände.
Beschreibung von Molekül- und Festkörperenergiezuständen:
a) Aufstellen des Gesamthamiltonoperators:
r
ˆ r ˆ r r
ˆ ˆ r r
( , ) ( ) ( ) ( , ) ˆ r r
H R r = H r H R H
( ) ˆ
e + K + e,
K r R + H e,
e r + H K , K ( R)
r r
b) Born-Oppenheimer Näherung: Lösung von H ˆ ( R,
r ) unter Trennung der Kerne und Elektronen
r
ˆ r
H ( R,
r ) ˆ r ˆ r r
( , ) ˆ r r
( ) ( ˆ
el = H e ( r ) + H e,
K r R + H e,
e r + H K , K ( R)
)
r r r r r r r r
Lösung für Elektronen: ˆ
i
i { ( ˆ
i
H el ( R,
r)
ψ el ( r,
R)
= Eel
( R)
+ H K , K ( R)
) } ψ el ( r,
R)
r r
i
E ( ) ( ˆ
el R + H K , K ( R)
) sind die Potentialkurven
r r r r
für die Kerne: ˆ i ˆ
i
H ( ) ( ) ( ) ( ˆ
ker n R = H K R + Eel
R + H K , K ( R)
)
r r
r
ˆ i
i,
ν
i,
ν i,
ν
H ker n ( R)
ψ ker n ( R)
= Eker
nψ
ker n ( R)
r r r r r r
Näherung: Gesamtlösung: ˆ i ν,
H ( R,
r)
ψ ( R,
r ) = Eψ
( R,
r ) mit E = Eker
n und
r r r
i r r
i,
ν
ψ ( R,
r)
=
ψ ( R)
∗ψ
( r,
R)
ker n
el