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P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 14 Das H-Atom besteht aus einem Kern am Ort RK r und einem Elektron am Ort re r . Die Hamiltonfunktion lautet: r r r 2 r 2 2 r r PK pe e H ( PK , pe, RK , re ) = + − r r . (Hier wird wegen der einfacheren Schreibweise das cgs- 2M K 2me RK − re r r r M k RK + mere System verwendet.) Durch Einführen von Schwerpunktskoordinaten RS = und M K + me Relativkoordinaten e K R r r r r = − lässt sich das 2 Teilchenproblem (6 Freiheitsgrade) auf die einfache Translationsbewegung ohne äußeres Potential (3 Freiheitsgrade) und die Relativbewegung separieren (3 Freiheitsgrade). Die Hamiltonfunktion lautet: r r r 2 r 2 2 r r PS p ( M K + me ) e H ( PS , p, RS , r ) = + − r = H S + H r . 2 M + m 2m M r ( ) K e e K Dies ist die Summe zweier unabhängiger Hamiltonfunktionen (und damit Schrödingergleichungen) einmal für die Schwerpunktsbewegung mit der Gesamtmasse M = M K + me und einmal für die Relativbewegung des M Kme Elektrons zum Kern mit der reduzierten Masse m r = : M K + me r r 2 r 2 2 PS r r p e H S ( PS ) = , H r ( p, r ) = − r . 2M 2m r r Die Lösungen der Schwerpunktbewegung sind das Kontinuum der kinetischen Energie, wie man es auch klassisch erhält. Die Lösung der Relativbewegung führt zu einem konkreten Energiespektrum. Die Gesamtlösung ist die Zusammensetzung beider Anteile. Im Weiteren verfolgen wir kurz zur Wiederholung die Lösung der Relativbewegung. Wegen des vorhandenen Zentralpotentials ist es zweckmäßig Kugelkoordinaten einzuführen. Hier ist jedoch wichtig, vorher auf die entsprechenden quantenmechanischen Operatoren überzugehen. (Hinweis: Die Transformation auf Schwerpunktkoordinaten ist wegen seiner linearen Form unsensitiv auf den Unterschied zwischen Hamiltonfunktion und Hamiltonoperator. Dies gilt aber nicht für die Transformation in Kugelkoordinaten.) 2 2 h e H r = − ∆ − r 2m r r Mit der Transformation übergegangen: x = r sinθ cosϕ , y = r sinθ sinϕ , z = r cosθ wird auf Kugelkoordinaten 2 pˆ r H r = 2m lˆ 2 + 2 2m r 2 e − r mit h 1 ∂ h ⎛ ∂ 1 ⎞ p ˆ r = r = ⎜ + ⎟ i r ∂r i ⎝ ∂r r ⎠ und h l ˆ = ( r × ∇) i bzw. r r 2 2 2 ∂ pˆ r = − r 2 r ∂r h 2 und l ˆ 2 2 h ⎛ ∂ ⎛ ∂ ⎞ ∂ ⎞ = − ⎜sinθ ⎜sinθ ⎟ + ⎟ . 2 2 sin θ ⎝ ∂θ ⎝ ∂θ ⎠ ∂ϕ ⎠ Da das Potential nur von r abhängig ist zerfällt der Hamiltonoperator in einen Radialanteil und in einen reinen Rotationsenergieanteil. Mit dem Ansatz ψ ( r , θ , ϕ ) = R( r) Y ( θ , ϕ ) kann man daher die 2 Schrödingergleichung separieren, wobei als Separationskonstante − l( l + 1) h gewählt wird. (Bem.: Der 2 Grund dafür liegt in der Tatsache, dass l( l + 1) h der Erwartungswert des Drehimpulsoperators ist.) Daraus ergeben sich zwei unabhängige Differentialgleichungen: ˆ 2 2 2 2 2 Radialgleichung: ( p 2m re − 2m r E) R( r) = −l( l + 1) h R( r) r r r r − oder 2 2 2⎛ ∂R( r) ∂ R( r) ⎞ 2⎛ e ⎞ 2 − rh ⎜2 + r ⎟ − 2m r E R( r) = −l( l + 1) h R( r) 2 r ⎜ + ⎟ ⎝ ∂r ∂r ⎠ ⎝ r ⎠ Winkelgleichung: ˆ2 2 − l Y ( θ , ϕ ) = −l( l + 1) h Y ( θ , ϕ ) oder 2 1 ∂ ⎛ ∂Y ( θ , ϕ ) ⎞ 1 ∂ Y ( θ , ϕ ) ⎜sinθ ⎟ + = −l( l + 1) Y ( θ , ϕ ) 2 2 sinθ ∂θ ⎝ ∂θ ⎠ sin θ ∂ϕ
P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 15 Die Winkelgleichung kann durch einen weiteren Separationsansatz Y ( θ , ϕ ) = Θ( θ ) Φ( ϕ ) und der 2 Separationskonstante m in Azimutal- und Polargleichung getrennt werden: 2 ∂ Φ( ϕ ) 2 Azimutalgleichung: − = m Φ( ϕ ) 2 ∂ϕ θ ∂ ⎛ ∂Θ( ) ⎞ 2 2 Polargleichung: sin θ ⎜sinθ ⎟ + l( l + 1) Θ( θ ) sin θ = m Θ( θ ) . ∂θ ⎝ ∂θ ⎠ Die drei Differentialgleichungen, Radial-, Azimutal- und Polargleichung sind vollständig entkoppelt und können jede für sich gelöst werden. Für bestimmte ausgezeichnete negative Energien E existieren Lösungen und man erhält für die normierte Wellenfunktion: m m ψ nlm r, θ , ϕ ) = Rn l ( r) Yl ( θ , ϕ ) = Rn l ( r) Θl ( θ ) Φ m ( ϕ ) mit Φ Θ R m m l ( , , ( ϕ ) = 1 e 2π imϕ ( l − m) ! m Pl ( l + m) ! ( n − l −1) 3 ( ( n + l) ! ) 2l + 1 ( θ ) = (cosθ ) 2 l r na n, l na − − 3 2 ! ⎛ 2r ⎞ 2 0 2l + 1 ( r) = a ( 2r 0 e L 1 ) 2 n−l − 0 n ⎜ na ⎟ ⎝ 0 ⎠ 2 h 2l 1 wobei der Bohr'sche Radius a0 = , die Laguerre'schen Polynome L ( 2r ) 2 n l 1 na0 2m e + − − und die Legendre- r m Polynome Pl (cosθ ) verwendet wurden. Den Koeffizienten n , l, m , welche die Diskretisierung bestimmen, kommt die Bedeutung von Quantenzahlen zu. Es gelten die Bedingungen: n = 1, 2, 3.... ∞ , l = 0,.. n −1 , m = −l,... 0.... + l . Die diskreten Energien ergeben sich zu: E n 2 1 e = − . 2 n 2a 0 Für alle positiven Energien ergeben sich ebenfalls Lösungen, wobei die Wellenfunktionen ähnlich den ebenen 1 2mr E Wellen eines freien Teilchens mit sin( kr − lπ + δ ) oszillieren ( k = h ). 2 l Atome mit mehreren Elektronen lassen sich näherungsweise mit den Energiezuständen des H-Atoms beschreiben. Dabei wird berücksichtigt, dass für die außenliegenden Elektronen nur eine abgeschirmte Kernladungszahl wirkt, und die Auffüllung der Orbitale mit den Spin-behafteten Elektronen dem Pauliprinzip und den Hund’schen Regeln erfolgt. (Erst eine genauere relativistische quantenmechanische Betrachtung würde den Spin berücksichtigen). Pauliprinzip: Ψ 12 , ,... =− Ψ 21 , ,... Die Gesamtwellenfunktion ist bei Vertauschung von 2 Teilchen antisymmetrisch:. ( ) ( ) Oder einfacher für die Atomphysik: 2 Elektronen müssen sich mindestens in einer Quantenzahl unterscheiden. Hund’sche Regeln: Auffüllung der Orbitale einer Schale erfolgt nach Pauliprinzip und hierarchisch nach: 1.) Gesamtspin möglichst groß. 2.) Die Summe der Projektionen der Bahndrehimpulse ist maximal. 3.) Der Gesamtdrehimpuls J=L-S für weniger als halbgefüllte Schalen, J=L+S für mehr als halbgefüllte Schalen. n
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